Resolver la siguiente inecuación con fracciones

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Igualando a cero:

$$\begin{align}&\frac{4x+1}{3x-5}-5 \leq0\\&\\&\frac{4x+1-15x+25}{3x-5} \leq0\\&\\&\frac{-11x+26}{3x-5} \leq0\\&\\&-11x+26=0 \Rightarrow x=\frac{26}{11}=2. \overline {36}\\&\\&3x-5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{3}=1. \overline {6}\\&\\&(-\infty, \frac{5}{3}) \Rightarrow F(0)=\frac{26}{-5}<0 \rightarrow si\\&\\&(\frac{5}{3},\frac{26}{11}) \Rightarrow F(2)=\frac{-22+26}{6-5}>0 \rightarrow no\\&\\&(\frac{26}{11}, + \infty) \Rightarrow F(10)=\frac{-}{+}<0 \rightarrow si\\&\\&Solución= =>(-\infty, \frac{5}{3}) \bigcup \bigg[\frac{26}{11}, + \infty)\end{align}$$

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¡Hola Albert!

Lo haré de otra forma, aunque creo que es más largo. Hay que jugar con los dos posibles signos que puede tener el denominador y pasarlo al otro lado.

$$\begin{align}&\frac{4x+1}{3x-5}\le5\\&\\&a) \quad Si \;(3x-5)\le0\implies x\le \frac 53\\&\text{cambia el sentido al pasar el denominador}\\&4x+1\ge15x-25\\&11x\le26\\&x\le \frac {26}{11}\\&\text{Como }\frac 53\lt \frac{26}{11}\implies x\le \frac 53\\&\\&b)\quad Si\;(3x-5)\gt0\implies x\gt \frac 53\\&\text{no cambia el sentido al pasarlo}\\&4x+1\le15x-25\\&11x\gt26\\&x\gt \frac {26}{11}\\&\\&\text{Como }\frac{26}{11}\gt \frac 53\implies x \gt \frac {26}{11}\\&\\&\text{Luego la solución final}\\&\\&x\in \left(-\infty, \frac 53  \right]\cup \left[\frac {26}{11},+\infty  \right)\end{align}$$

Saludos.

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