Recinto limitado por curva, recta tangente y los ejes coordenados
Calcular el área del recinto limitado por la curva
$$\begin{align}&y=\sqrt{2x-1}\end{align}$$, su recta tangente en
$$\begin{align}&x=3\end{align}$$y los ejes coordenados.
El resultado deberia ser
$$\begin{align}&\frac{13}{30}\sqrt{5}\end{align}$$
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Maar!
Primero calculamos la recta tangente, la fórmula es:
$$\begin{align}&y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)\\&x_0=3\\&f(x_0) =\sqrt{2·3-1} =\sqrt 5\\&\\&f'(x)=\frac{2}{2 \sqrt{2x-1}}= \frac{1}{\sqrt {2x-1}}\\&\\&f'(x_0)=\frac 1{\sqrt 5}\\&\\&y=\sqrt 5+\frac 1{\sqrt 5}(x-3)\end{align}$$Hagamos la gráfica:
Y vemos que hay que dividirla en dos regiones para calcularla (a no ser que intercambiemos ejes y las funciones por las inversas, pero no creo que merezca la pena)
Está claro que el punto de separación de las dos regiones es x=1/2 ya que para x=1/2
sqrt(2x-1)=sqrt(1-1) = 0
El dibujo que he hecho invita a hacer la suma de dos áreas y así lo haré en principio, pero enseguida veremos que es más fácil calcularlo como la resta de un aréa de la de otra
$$\begin{align}&A=\int_0^{\frac 12}\left( \sqrt 5+\frac 1{\sqrt 5}(x-3)\right)dx+\\&\qquad\int_{\frac{1}{2}}^3 \left( \sqrt 5+\frac 1{\sqrt 5}(x-3)- \sqrt {2x-1}\right)dx=\\&\\&\\&\int_0^{3}\left( \sqrt 5+\frac 1{\sqrt 5}(x-3)\right)dx-\int_{\frac 12}^3 \sqrt{2x-1}dx=\\&\\&\left[\sqrt 5x+\frac 1{\sqrt 5}\frac{(x-3)^2}{2} \right]_0^3-\left[ \frac{(2x-1)^{\frac{3}{2}} }3\right]_{\frac 12}^3=\\&\\&\left(3 \sqrt 5+0-0-\frac{9}{2 \sqrt 5}\right)-\left(\frac{5^{3/2}}{3}+0\right)=\\&\\&3 \sqrt 5 - \frac {9 \sqrt 5}{10}-\frac{5 \sqrt 5}{3}=\frac{90-27-50}{30}·\sqrt 5=\frac {13}{30}\sqrt 5\end{align}$$Luego estaba bien la respuesta.
Saludos.
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