Esta función a trozos, no lo logro interpretar la instrucción, saludos

Me parece que da lo mismo que sean unos u otros

Voy a suponer que es

f(x) = x si x es racional

f(x) = 0 si x es irracional

Será continua si

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0}f(x) = f(0)\\&\\&\text{0 es racional }\implies f(0)=0\\&\\&\text{Luego hay que demostrar}\\&\\&\lim_{x \to 0}f(x)=0\\&\\&Dado\; \epsilon \gt 0 \text{ tomaré }\delta=\epsilon\\&\\&\text{entonces si }0\lt|x-0|\lt\delta\\&\\&\text {tendremos }\\&\\&\text{si x es racional}\\&|f(x)-0|=|x-0|\lt\delta=\epsilon\\&resumiendo\\&|f(x)-0|\lt \epsilon\\&\\&\text{y si x es irracional}\\&|f(x)-0|=|0-0|=0\lt \epsilon\\&resumiendo\\&|f(x)-0|\lt \epsilon\\&\\&\end{align}$$

Luego |f(x)-0| < epsilon para todo x que cumple 0<|x-0|<delta

Eso significa que el límite de f(x) cuando x tiende a 0 es 0

Y por lo tanto es continua.

Y si el enunciado fuera el contrario es prácticamente igual la demostración.

Saludos.

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