Análisis combinatorio. Determina la función generatriz que representa las formas...

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¡Hola Carolinaboni!

Yo no conozco eso de la función generatriz, pero si me pasas teoría y la entiendo podría intentarlo, es un problema que me gusta.

Saludos.

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Hasta ahora hemos visto problemas de conteo relativamente simples, dónde la observación y el uso de la herramienta adecuada permite solucionarlos. Sin embargo, no todos son tan sencillos, para esos usaremos técnicas más elaboradas. Algo que debemos observar es que cuando contamos combinaciones –con o sin repeticiónestamos usando coeficientes binomiales, es decir, coeficientes del Binomio de Newton, entonces, lo que haremos ahora será encontrar un método que nos permita representar un problema de conteo mediante un polinomio para luego de ciertas manipulaciones algebraicas conocer el –o los- coeficiente(s) que respondan al problema de conteo. Esto es lo que está detrás del concepto de función generatriz. Quedará más claro con algunos ejemplos.

Ejemplo. Margarita quiere regalar 7 libros a sus dos sobrinos, de manera que a uno le toquen al menos 4 y al otro le toquen al menos dos, ¿de cuántas formas puede dárselos? Construimos un polinomio que represente este problema. Primero asignamos un polinomio que represente las distribuciones para cada sobrino:

 Al primer sobrino le pueden tocar al menos 4 libros, por lo que iniciamos con 𝑥^4 , al segundo sobrino le deben tocar al menos dos de los 7 libros o sea que al primer sobrino no le podrán tocar más de cinco libros, representamos esto con 𝑥^5 , y entonces el polinomio para la distribución de libros del primer sobrino será 𝑥 ^4 + 𝑥 ^5 ,  El  polinomio asociado al segundo sobrino tiene como primer término 𝑥 ^2 , porque al menos le tocan dos libros; le pueden tocar tres, entonces el segundo término es 𝑥 ^3, y no le pueden tocar 4 ó más porque entonces al primer sobrino le tocarían sólo 3 ó menos libros, incumpliendo uno de los requisitos. Así el polinomio del segundo sobrino será 𝑥 ^2 + 𝑥 ^3.

El polinomio que representa el problema será el producto de estos dos polinomios:

𝑓(𝑥) = (𝑥 ^4 + 𝑥 ^5 )(𝑥^2 + 𝑥^3 ) = 𝑥^6 + 2𝑥^7 + 𝑥^8

y la respuesta está dada por el coeficiente del término de grado 7 de 𝑓(𝑥). Es decir, hay dos formas posibles en que Margarita puede regalar los libros a sus sobrinos con las restricciones indicadas. De hecho, al hacer el producto de los polinomios notamos que: 𝑓(𝑥) = (𝑥 ^4 + 𝑥^5 )(𝑥^2 + 𝑥^3 ) = 𝑥 4𝑥^2 + 𝑥 ^4𝑥 ^3 + 𝑥^5𝑥^2 + 𝑥 5𝑥^3 ⇒ 2𝑥 ^7=

𝑥 ^4𝑥^3 + 𝑥^5𝑥^2.

por lo que ella puede repartir los 7 libros como 4 y 3 o como 5 y 2

Es la información que  me dan y los demás son ejemplos como el que le envío.

Gracias.