Valores máximos y mínimos de una ecuación

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¡Hola Gabriella!

La función es un polinomio, por lo tanto continua, derivable y todo lo buena que se puede ser.

Si tiene máximos o mínimos relativos será en los puntos donde la derivada primera sea 0.

C(x) = x^3 + 40x^2 + 3000

derivcamos e igualamos a 0

C'(x) = 3x^2 + 80x = 0

x(3x + 80) = 0

x=0

3x + 80 =0

3x = -80

x = -80/3

Luego tenemos dos puntos críticos

x=0,  x=-80/3

Calculamos la derivada segnda para saber la naturaleza de los puntos críticos

C''(x) = 6x + 80

C''(0) = 80 >0   luego en x = 0 hay un mínimo relativo

C''(-80/3) = 6(-80/3)+80 = -160 + 80 = -80 <0 luego hay un máximo

Luego el mínimo relativo es:

(0, 3000)

y el máximo relativo es

$$\begin{align}&\left(-\frac {80}3,\quad \left(-\frac{80}3\right)^3 + 40 \left(\frac{80}3\right)^2 + 3000\right)=\\&\\&\left(-\frac {80}3,\quad -\frac{512000}{27} + \frac{256000}9 + 3000\right)=\\&\\&\left(-\frac {80}3,\quad \frac{-512000+768000+81000}{27}\right)=\\&\\&\left(-\frac{80}{3},\frac {337000}{27}\right)\approx(-26.\overline 6,\;12481.48148)\\&\\&\end{align}$$

Y esta es la gráfica que demuestra que están bien calculados.

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La manera más sencilla de obtener valores máximos y mínimos de una función es la deriva, igualando la función derivada a cero obtienes dichos valores.

Primero la derivación de la función C(x)

C'(x) = 3 x^2 + 80x

Una vez realizada la derivada, pues como te decía dicha ecuación la igualas a cero.

C'(x) = 0

Entiendase

3 x^2 + 80x = 0

De aca despejas para encontrar los valores de "x"

x(3x+80)=0

Siendo la primera respuesta

x=0

y la segunda

3x+80=0

x=-80/3

Con esto encontramos la ubicación del cambio de concavidad en la función, para saber cual es el máximo o mínimo, podemos realizar la segunda derivada de la función y evaluar las respuestas encontradas en x, si el resultado es positivo la convavidad es hacia arriba y te indica ser un mínimo, al dar como resultado negativo te indica ser cóncava hacia abajo y te indica ser un máximo.

C''(x) = 6x+80

C''(-80/3) = 6(-80/3)+80 = -80 (el resultado es negativo por lo que indica ser un maximo)

C''(0) = 6(0)+80 = 80 (aca el resultado es positivo por lo es un minimo)

Al realizar la gráfica puedes apreciar la forma de la función. Te recomiendo el software GeoGebra, esta en version español y es gratis, es una de las mejores herramientas que conozco para estudiar matemática y calculo.