Principio de superposición ecuaciones diferenciales
Utilizando el principio de superposición, verificar que la combinación de las funciones
$$\begin{align}&y_1 (x)=e^2x\end{align}$$y ,
$$\begin{align}&y_2 (x)=e^3x\end{align}$$definidas en el intervalo
$$\begin{align}&(-∞,∞)\end{align}$$, es solución de la siguiente ecuación diferencial homogénea de tercer orden:
$$\begin{align}&y´´-5y´+6y=0\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Moropeza!
Primero vemos que son funciones independientes. Ahora mismo acabo de hacer una demostración igual para tres funciones de ese tipo. Tomo una combinación lineal de las dos:
$$\begin{align}&ae^{2x}+be^{3x}=0\\&\\&\text{doy valores para x=0 y x=1}\\&\\&a+b=0\implies a=-b\\&e^2a+e^3b=0\implies -e^2b+e^3b=0\implies b(e^3-e^2)=0\implies b=0\\&a=-0=0\\&\\&\text {luego son independientes}\\&\\&\text{Y ambas son soluciones de la ecuación diferencial}\\&y''-5y'+6y=0\\&\\&\text{ya que la ecuación característica}\\&k^2-5k+6=0\\&\text{se descompone en}\\&(k-2)(k-3)=0\\&k=2\\&k=3\\&\text{y las funciones}\\&y=e^{2x}\\&y=e^{3x}\\&\text{son soluciones de la ecuación diferencial}\end{align}$$Y para terminar de dejarlo bien usa esto y el principio de superposición que te hayan enseñado, que yo no se exactamente cómo te lo han dicho.
Saludos.
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