Principio de independencia lineal en ecuaciones diferenciales
Demuestre que las funciones
$$\begin{align}&e^x, e^2x, e^3x\end{align}$$, son linealmente independientes
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Moropeza!
Tomaremos una combinación lineal igualada a 0 y veremos que la única forma de conseguirla es con todos los coeficientes nulos.
$$\begin{align}&ae^x+be^{2x}+ce^{3x}=0\\&\\&\text{Tomando }x=0, \;1\; y \;2\\&\\&a+b+c=0\\&ea+e^2b+e^3c=0\\&e^2a+e^4b+e^6c =0 \\&\\&\text{Es un sistema homogéneo, tiene como única}\\&\text{solución (0,0,0) si el determinante es no nulo}\\&1\quad1\quad\; 1\\&e\quad e^2\quad e^3\\&e^2\;\; e^4\quad e^6\\&\text{El determinante es}\\&\\&e^8+e^5+e^5-e^4-e^7-e^7=\\&e^8-2e^7+2e^5-e^4=\\&e^4(e^4-2e^3+2e-1)=\\&\\&\text{No va a quedar más remedio que tomar la calculadora}\\&\\&e^4(18.86363984)\\&\\&\end{align}$$Que es distinto de 0 sin ninguna discusión. Luego la única solución posible es
a=b=c=0
Y las funciones son independientes.
Y eso es todo.
Saludos.
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