Determine si SLn(R) = {A pertenece a GLn(R) / det(A) = 1} es un grupo con lamultiplicación.
Nos dicen que si todas las matrices S nxn en los reales es igual al conjunto de todos los A que pertenecen a todas las matrices G nxn en los reales donde su determinante es 1, es un grupo con la ley de composición interna de la multiplicación.
No se como debería demostrar eso, si tal ves debería empezar por probar si se cumplen todas las propiedades de un grupo o hay otro método. Porque demostrar la propiedad asociativa es algo como muy complejo.
1 respuesta
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¡Hola Luis!
Tienes que usar el teorema de caracterización de subgrupos. Un subconjunto H de un grupo G será un subgrupo si se cumplen estas dos condiciones
i) H no está vació
Ii) Para todo a, b de H se cumple a·b^(-1) pertenece a H
Y lo demostramos para H ese SLn(R) que dicen. El grupo G que lo engloba será el de todas las matrices regulares nxn.
i) SLn(R) no es vacío porque la matriz identidad de nxn tiene determinante 1.
Ii) Sean dos matrices A y B de SLn(R), su determinante es uno
Se cumple
B·B^(-1) = I
Y como el determinante del producto es el producto de los determinantes se cumplirá
|B·B^(-1)|= |I|= 1
|B| · |B^(-1)| = 1
1 · |B^(-1)| = 1
|B^(-1)| = 1
Entonces tendremos que
|A·B^(-1)| = |A|·|B^(-1)| = 1·1 = 1
Con lo cual A·B^(-1) pertenece a H
Y ya está, se cumplen i) y ii) y por lo tanto SLn(R) es un subgrupo de las matrices regulares nxn, por lo tanto es un grupo.
Y eso es todo, saludos.
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¡Gracias! Excelente respuesta. ahora esta todo claro.
¿se puede afirmar que G es un grupo?
Si claro, todo subgrupo es un grupo, hemos demostrado que SLn(R) es subgrupo del grupo de las matrices regulares nxn, por lo tanto es grupo.
