Problemas de conteo: Encuentra las funciones generatrices...
- Encuentra las funciones generatrices correspondientes a las siguientes sucesiones: a)
$$\begin{align}& \binom {9} {1}, 2 \binom {9} {2}, 3 \binom {9} {3},...9 \binom {9} {9}\end{align}$$b) 0,0,0,01,0,1,0,1,0,1,0,1,...
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Carolinaboni!
Imagino que quieres decir que el primer numero es el coeficiente de x^0, el segundo el de x^1, el siguiente de x^2, etc.
a) Da la impresión de que sea el binomio 9·(1+x)^8
Ya que al menos primero y último se ve claramente que son 9 multiplicado por lo que sería el binomio de Newton.
Vamos a ver si esto se cumple con todos.
$$\begin{align}&9\binom 8i= \frac{9·8!}{i!·(8-i)!}=\frac{9!}{i!·(8-i)!}=\\&\\&(i+1)\frac{9!}{(i+1)i!(8-i)!}=(i+1) \frac{9!}{(i+1)!(8-i)!}=\\&\\&(i+1) \frac{9!}{(i+1)!(9-(i+1))!}=(i+1)\binom{9}{i+1}\\&\\&\text{luego es verdad}\\&\\&\binom 91= 9 \binom{8}{0}\\&\\&2\binom 92=9\binom 81\\&\\&3\binom 93 = 9\binom 82\\&....\\&9\binom 99= 9\binom 88\\&\\&\\&\text{Por lo tanto la función generatriz es}\\&f(x) =9(x+1)^8\\&\\&\end{align}$$·
b)
Creo que falta una coma y serían cuatro ceros iniciales
0,0,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,...
con lo cual la función sería
x^4 + x^6 + x^8 + x^10 + ..... = x^4(1+x^2+x^4+x^6+ ....) =
Esto es la suma de una progresion geométrica infinita cuya formula es
S = a1/(1 - r)
La razón es x^2
Luego será:
f(x) = x^4 · 1(1-x^2) = x^4 / (1-x^2)
Y eso es todo, saludos.
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