Estrategias de conteo: Encuentra la función generatriz y el coeficiente en ella que...x_1+x_2+x_3+x_4=30 si-1≤x_i≤6
- Encuentra la función generatriz y el coeficiente en ella que da el número de soluciones enteras de la ecuación:
$$\begin{align}&x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=30 si -1 ≤x_{i}≤ 6 ∀1 ≤ i≤4 y x_{3} par\end{align}$$
1 respuesta
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¡Hola Carolinaboni!
Primero vamos a hacer que los valores no sean negativos, podemos sumar una unidad a todas las xi y entonces tendremos este sistema equivalente
x1+x2+x3+x4 = 34
0 <= xi <= 7 para todo i
x3 impar
La función generatriz será:
f(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^3 · (x+x^3+x^5+x^7)
no se si servirá de mucho la simplifació que haré
f(x) = x·(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^3 · (1+x^2+x^4+x^6)
y tomo esta otra función a la que he quitado la x inicial
g(x) = (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^3 · (1+x^2+x^4+x^6)
Pero ahora en vez de buscar el coeficiente de x^34 hay que buscar el de x^33
Yo no sé si os han enseñado algo especial para calcular esto, a mi solo se me ocurre tomar la suma de los coeficientes 33, 31, 29 y 27 del factor izquierdo ya que multiplicados cada uno por el correpondiente monomio del factor derecho dará exponente 33. Por supuesto hay que usar el principio de inclusión exclusión para quitar las soluciones que tienen algún 8 o más, sumar las que tienes 8 ochos o más y restar las de 3 ochos
CR(3,33) - CR(3,25) + CR(3,17)
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VAYA. Que no puede ser, supongo que el enunciado estará equivocado. Nos piden que sumen 30 pero lo máximo que pueden sumar es 24.
Revisa el enunciado.
Saludos.
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Buenas noches el enunciado es correcto, el profesor que tengo no me
explica nada, solo el apunte que le envíe a su correo y eso es todo.
Le agradezco todo su apoyo por que he aprendido mucho de usted profesor
Valero.
Mi admiración y respeto para usted.
Saludos.
Pues si dicen que los cuatro valen entre - 1 y 6 es imposible que puedan sumar 30.
No obstante voy a ver cual será la función generatriz
$$\begin{align}&g(x)=(x^{-1}+1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^3·(1+x^2+x^4+x^6)=\\&\\&\text{Si queremos ponerla de otras formas}\\&\\&=x^{-3}(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^3·(1+x^2+x^4+x^6)=\\&\\&\frac{(1-x^8)^3}{x^3(1-x)}·\frac{1-x^8}{1-x^2}=\\&\\&\frac{(1-x^8)^4}{x^3(1-x)^2(1+x)}\end{align}$$En fin, depende del gusto del que las usa. Porque yo por ejemplo acabo de mirar tus apuntes y ejemplo final de las pelotas de tenis lo hubiera hecho con otra función generatriz y usando combinaciones con repeticion y el principio de inclusión- exclusión. Lo que han hech lo veo muy raro. Gracias a ello he visto que se han equivocado, no son 55 sino 35, el -1124 que han puesto es en realidad -1144.
Y respecto al coeficiente de 30, como no se puede obtener tiene el valor 0.
Y eso es todo, saludos.
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