Matemáticas - Demostraciones de razones y proporciones
Demuestra que si a/b = c/d y A/B = C/D entonces aA/bB = cC/dD
Demuestra que si p/q=r/s entonces p-q/p+q = r-s/r+s
Demuestra que las diagonales de un trapecio se cortan en segmentos proporcionales a las bases del trapecio.
2 respuestas
;)
Hola Fred!
La primera es evidente, solo tienes que multiplicar las proporciones:
$$\begin{align}&Si \ \ \ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\&y\\&\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\\&\\&multiplicando \ miembro \ a \ miembro:\\&\\&\frac{a}{b}·\frac{A}{B}=\frac{c}{d}·\frac{C}{D} \Rightarrow \frac{aA}{bB}=\frac{cC}{dD}\\&\\&c.q.d.\\&\\&2)\\&Si \ \ \frac{p}{q}=\frac{r}{s}\\& \ restando \ \ 1 \ \ a \ \ ambos\ \ miembros \Rightarrow \frac{p}{q}-1=\frac{r}{s}-1 \Rightarrow \frac{p-q}{q}=\frac{r-s}{s}\\&\\& \ sumando \ \ 1 \ \ a \ \ ambos\ \ miembros \Rightarrow \frac{p}{q}+1=\frac{r}{s}+1 \Rightarrow \frac{p+q}{q}=\frac{r+s}{s}\\&\\&dividiendo \ miembro \ a \ miembros \ las \ dos \ igualdades:\\&\\&\frac{\frac{p-q}{q}}{\frac{p+q}{q}}=\frac{\frac{r-s}{s}}{\frac{r+s}{s}} \Rightarrow \frac{p-q}{p+q}=\frac{r-s}{r+s}\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$Saludos
;)
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En un trapecio los triángulos APB y CPD son semejantes por tener los tres ángulos iguales:
P=P opuestos por el vértice
A=C lado común(AC), y lados paralelos (las bases AB y CD)
B=D lado común BD, y lados paralelos las bases
Luego haciendo proporciones entre los lados homólogos o correspondientes:
$$\begin{align}&\frac{AP}{CP}=\frac{AB}{CD}\\&\\&\frac{PB}{PD}=\frac{AB}{CD}\\&\\&\\&c.q.d.\end{align}$$c.q.d (como queríamos demostrar)
Saludos
;)
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¡Hola Fred!
Lo primero es la multiplicación miembro a miembro
$$\begin{align}&\frac ab = \frac cd\\&\\&\frac AB = \frac CD\\&\\&\frac ab · \frac AB=\frac cd ·\frac CD\\&\\&\frac{aA}{bB}=\frac {cC}{dD}\\&\\&---------------\\&\\&\frac {p-q}{p+q}=\frac{r-s}{r+s} \iff\\&\\&(p-q)(r+s) = (p+q)(r-s)\iff\\&\\&pr+ps-qr-qs=pr-ps+qr-qs\iff\\&\\&ps-qr = -ps +qr \iff\\&\\&2ps -2qr=0\iff\\&\\&2(ps-qr)=0 \iff \\&\\&ps=qr\iff\\&\\&\frac pq=\frac rs\\&\\&\end{align}$$Y el del trapecio lo habría hecho muy similar que Lucas, pero ya está hecho y muy bien.
Saludos.
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