Graficación de ecuaciones diferenciales de grado dos
Un oscilador masa-resorte amortiguado está formado por una masa m unida a un resorte fijo en un extremo, como se puede apreciar en la figura. La ecuación diferencial que gobierna el movimiento de este oscilador, tomando en cuenta las fuerzas que actúan sobre él debido a la elasticidad del resorte, la fricción (amortiguamiento) y las posibles influencias externas, ésta dada por la segunda ley de Newton como:
$$\begin{align}& my´´+by´+ky=F_ext (t)\end{align}$$Donde m es la masa,
$$\begin{align}&b≥0 \end{align}$$es el coeficiente de amortiguamiento y k es la constante de rigidez.
$$\begin{align}&[inercia]×y´´+[amortiguamiento]×y´+[rigidez]×y=F_externa\end{align}$$Verificar que el sinusoide con amortiguamiento exponencial dado por: y(t)=e(−3t)cos4t , es una solución de la ecuación (1)
$$\begin{align}&) si F_ext (t)\end{align}$$= 0,m=1 ,k=25 y b=6 Y posteriormente grafica la solución y describe su comportamiento.
1 Respuesta
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¡Hola Mauricio!
Pues sustituiremos todos los datos que nos dan de la ecuación y veremos si se cumple.
$$\begin{align}&my''+by'+ky=F_{ext}(t)\\&\\&Con\;F_ext=0, m=1,k=25,b=6, y=e^{-3t} \cos 4t\\&\\&\text{queda esta ecuación}\\&\\&y''+6y+25y = 0\\&\\&\text{calculamos }y'\; \& \;y''\\&\\&y'= -3e^{-3t} \cos 4t-4e^{-3t}sen\, 4t=\\&-e^{-3t}(3 \cos 4t + 4sen\, 4t)\\&\\&y''=3e^{-3t}(3cos 4t+4sen\,4t)-e^{-3t}(-12sen\, 4t+16 \cos 4t)=\\&e^{-3t}(-7 \cos 4t+24 sen\,4t)\\&\\&\text{Y sustituimos la función y sus derivadas}\\&\\&e^{-3t}(-7 \cos 4t+24 sen\,4t)-6e^{-3t}(3 \cos 4t + 4sen\, 4t)+25e^{-3t} \cos 4t=\\&\\&e^{-3t}[(-7-18+25)\cos 4t + (24-24)sen\, 4t]=e^{-3t}·0=0\\&\end{align}$$Y la gráfica es:
El comportamiento es el que ves, es ocilante pero se atenúa, y a los dos segundos prácticamente no hay movimiento ya.
Y eso es todo, saludos.
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