Obtención de funciones a partir de las marginales

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Hola Jorge!

$$\begin{align}&u=lnx \rightarrow du=\frac{1}{x}dx\\&\\&dv=(x^2+1)dx \rightarrow v=\int (x^2+1)dx=\frac{x^3}{3}+x\\&\\&\\&\int (x^2+1)lnxdx=uv- \int v du=(\frac{x^3}{3}+x)lnx- \int(\frac{x^3}{3}+x) \frac{1}{x}dx=\\&\\&=(\frac{x^3}{3}+x)lnx - \int (\frac{x^2}{3}+1)dx=(\frac{x^3}{3}+x)lnx-\frac{x^3}{9}-x+C\end{align}$$

saludos

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¡Hola Willian!

Casi siempre que tengamos un logaritmo neperiano seré este el que tengamos que poner como la u para que al derivarlo quede algo que se pueda integrar.

$$\begin{align}&\text{La fórmula es:}\\&\\&\int u\,dv=uv -\int v \,du\\&\\&\int (x^2+1)ln\,x\; dx=\\&\\&u=ln\,x  \qquad\qquad du =\frac {dx}{x}\\&dv=(x^2+1)dx\qquad v = \frac{x^3}{3}+x\\&\\&=\left(\frac {x^3}{3}+x  \right)ln x -\int \left(\frac {x^2}3+1  \right)dx=\\&\\&\left(\frac {x^3}{3}+x  \right)ln x-\frac{x^3}{9}-x +C\end{align}$$

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En los siguientes enlaces que seleccioné para podría estar la respuesta a tu pregunta:

https://www.youtube.com/watch?v=s2gBY8aMdqM 

https://www.youtube.com/watch?v=hviLwQaRhMY 

https://www.youtube.com/watch?v=XZYKmt-PTrY 

Saludos, por acá a tus órdenes y por favor finaliza y valora esta respuesta si es que no tienes alguna otra duda o inquietud.