¿Como hacer estos ejercicios de derivadas , f(x)=(2x-1)^2 (9-x).?
Considera la función, f(x)=(2x-1)^2 (9-x) .Determina lo siguiente:
- La derivada de la función, lo más simplificada posible.
- Los valores críticos de la función.
- Si los valores críticos son máximos o mínimos.
- Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función.
2 Respuestas
Respuesta de Lucas m
2
;)
Entre los dos paréntesis ¿es un producto?
;)
;)
si es un mismo producto
;)
$$\begin{align}&y=(2x-1)^2(9-x)\\&\\&y'=2(2x-1)2(9-x)+(2x-1)^2(-1)=\\&\\&=4(18x-2x^2-9+x)-(4x^2-4x+1)=\\&\\&=-12x^2+80x-37\\&\\&2)\\&y'=0\\&-12x^2+80x-37=0\\&\\&x=\frac{-80 \pm \sqrt {80^2-4(-12)(-37)}}{-24}=\frac{-80 \pm \sqrt {4624}}{-24}=\frac{-80 \ \pm 68}{-24}\\&\\&x_1=\frac{37}{6}=6.1 \overline{6}\\&\\&x_2=\frac{1}{2}=0.5\\&\\&3)\\&y''(x)=-24x+80\\&\\&y''(\frac{37}{6})=-24 \frac{37}{6}+80 <0 \Rightarrow Máximo\ relativo (\frac{37}{6};f(\frac{37}{6}))=(6.16;363.93)\\&\\&y''(\frac{1}{2})=-12+80>0 \rightarrow mínimo \relativo\ (\frac{1}{2},f(\frac{1}{2}))=(0.5;0)\\&\\&4)\\&intervalos \ crecimiento:\\&(-\infty,\frac{1}{2}) \rightarrow f'(0)<0 \rightarrow decreciente\\&\\&(\frac{1}{2},\frac{37}{6}) \rightarrow f'(3)>0 \rightarrow creciente\\&(\frac{37}{6}, + \infty) \rightarrow f'(10)<0 \rightarrow decreciente\end{align}$$graficando:
Saludos
;)
;)
;)
Recuerda que has de votar la respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
2
·
·
¡Hola Alejandra!
Lo de lo más simplificada posible a lo mejor no te gusta. Yo la voy a hacer lo más simplificada posible para calcular fácilmente las raíces, porque eso es lo que me van a pedir después. Si la primera derivada no hiciera falta para nada y lo que fuera importante fuera la segunda, entonces la primera la simplificaría de otra forma.
$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2(9-x)\\&\\&f'(x) = 2(2x-1)·2·(9-x)+(2x-1)^2(-1) =\\&\\&(2x-1)(36-4x-2x +1) = (2x-1)(37-6x)\\&\\&\text{esa es la simplificación mejor para lo que viene}\\&\\&\\&\\&\text{2) Los valores críticos son los que }f'(x)=0\\&\\&(2x-1)(37-6x)=0\\&2x-1=0 \implies 2x=1 \implies x=\frac 12\\&37-6x=0\implies6x=37\implies x=\frac{37}{6}\\&\\&\text{3) La derivada segunda es}\\&f''(x)=2(37-6x)+(2x-1)·(-6)=\\&2(37-6x-6x+3)=2(40-12x)\\&\\&f''\left(\frac 12\right)=2(40-6)=72\implies mínimo\\&\\&f''\left( \frac {37}6\right)=2(40-74)=-68\implies máximo\\&\\&\text{4) Antes de un mínimo decrece, luego crece}\\&\text{Antes de un máximo crece y luego decrece, luego}\\&\\&\left(-\infty,\frac 12\right) decreciente\\&\\&\left( \frac 12,\frac{37}{6}\right) creciente\\&\\&\left( \frac{37}{6},\infty\right) decreciente\end{align}$$Esta es la gráfica que confirma los resultados:
Y eso es todo. Saludos.
:
: