Tengo un problema de optimización - ¿Cómo optimizar?
Si me pueden ayudar con este problema. Yo para los problemas de optimización soy malo
2 respuestas
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¡Hola JhanFranco!
Si las dimensiones del contenedor son
x = frente
y = fondo
z altura
El costo de material será
C(x,y,z) = 2xya+ 2xzb + 2yzb = 2xya + 2zb(x+y)
de la igualdad del volmen
xyz = 15
podemos despejar z
z= 15 / (xy)
Luego ahora el costo solo depende del frente y profundidad
$$\begin{align}&C(x,y) = 2xya+\frac{ 30b(x+y)}{xy}\\&\\&\text{Ambas variables x, y juegan el mismo papel}\\&\text{Luego no puede ser una distinta de la otra}\\&\text{porque podrían intercambiar las respuestas}\\&\\&\text{Luego cuando se de el mínimo sera x=y}\\&\\&C(x)=2ax^2 + \frac{60bx}{x^2}= 2ax^2+\frac {60b}x\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0}\\&\\&C'(x)=4ax-\frac {60b}{x^2}=0\\&\\&4ax^3-60b = 0\\&\\&4ax^3=60b\\&\\&x^3=15 \frac{b}{a}\\&\\&x=\sqrt[3]{15 \frac{b}{a}}\\&\\&\text{Luego el costo mínimo es}\\&\\&C(x)= 2ax^2+\frac {60b}x\\&\\&C\left(\sqrt[3]{15 \frac{b}{a}} \right)=2a \sqrt[3]{\left(15 \frac{b}{a}\right)^2}+\frac{60b}{\sqrt[3]{15 \frac{b}{a}}}=\\&\\&\frac{2a \left(15 \frac{b}{a}\right)+60b}{\sqrt[3]{15 \frac{b}{a}}}=\frac{90b}{\sqrt[3]{15 \frac ba}}=\\&\\&\sqrt[3]{\frac{729000b^3}{15 \frac ba}}= \sqrt[3]{\frac{243000ab^2}{5}}\\&\\&\text{Luego el menor costo se dará cuando }ab^2 \text{ sea mínimo}\\&\\&\text{Ah espera, que los precios de a y b son fijos, yo pensaba}\\&\text{que podías elegirlos en la tabla de abajo}\\&\\&\text{Entonces tenemos}\\&\\&x=y= \sqrt[3]{15 \frac{b}{a}}\\&\\&z=\frac{15}{\sqrt[3]{\left(15 \frac{b}{a}\right)^2}}=\frac{15 \sqrt[3]{15 \frac{b}{a}}}{15 \frac ba}=\frac {a\sqrt[3]{15 \frac{b}{a}}}{b}= \sqrt[3] {15 \frac{a^2}{b^2}}\\&\\&\text{Y los metros cuadrados de a son}\\&2xy=2 \sqrt[3]{225 \frac{b^2}{a^2}}\\&\\&\text{y los de b son}\\&\\&2z(x+y)=2 \sqrt[3] {15 \frac{a^2}{b^2}}·2\sqrt[3]{15 \frac{b}{a}}=4 \sqrt[3]{225 \frac ab}\end{align}$$A ver, que me estoy volviendo loco. El precio depende de a y b, más bien de la proporción a/b, luego si no la conocemeos no podemos saber el costo.
¿Me quieres decir que los valores de a y b son lo sde abajo?
Entonces me tendrás que decir cuál es tu grupo.
Espero la aclaración.
Saludos.
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Buenas noches Crack... mi grupo es el 9 entonces el a=8 y el b=10.
Gracias por el apoyo
Pues de dar vueltas porque no entendía lo que quería decir el enunciado, volvemos al lugar donde estaba calculado el costo mínimo
$$\begin{align}&C(x)= 2ax^2+\frac {60b}x\\&\\&C\left(\sqrt[3]{15 \frac{b}{a}} \right)=2a \sqrt[3]{\left(15 \frac{b}{a}\right)^2}+\frac{60b}{\sqrt[3]{15 \frac{b}{a}}}=\\&\\&\frac{2a \left(15 \frac{b}{a}\right)+60b}{\sqrt[3]{15 \frac{b}{a}}}=\frac{90b}{\sqrt[3]{15 \frac ba}}=\\&\\&\sqrt[3]{\frac{729000b^3}{15 \frac ba}}= \sqrt[3]{\frac{243000ab^2}{5}}=\\&\\& \sqrt[3]{\frac{243000·8·10^2}{5}}= \sqrt[3]{38880000}\\&\\&\approx 338.77\end{align}$$Y las 4 líneas últimas de antes sobrarían. Revisa las cuentas que es fácil equivocarse y he podido hacerlo.
Saludos.
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;)
Hola JhanFranco!
Sean x, y las dimensiones de la base i h la altura
V=15=xyh
$$\begin{align}&xy=\frac{15}{h}\\&\\&C=a2xy+b2xh+b2yh=f(x,y,h)\\&\\&C=2a \frac{15}{h}+2hbx+2hb \frac{15}{xh}\\&\\&C(x,h)=\frac{30a}{h}+2bhx+\frac{30b}{x}\\&\\&En \ el \ mínimo \ las \ dos \ derivadas \ parciales \ han \ de \ valer \ cero:\\&\\&\frac{\partial C}{\partial x}=2bh-\frac{30b}{x^2}=0 \Rightarrow x^2=\frac{15}{h}\\&\\&\frac{\partial C}{\partial h}=\frac{-30a}{h^2}+2bx=0 \Rightarrow x=\frac{15a}{h^2b}\\&\\&igualando:\\&\Bigg (\frac{15a}{h^2b} \Bigg)^2=\frac{15}{h}\\&\\&\frac{15^2a^2}{h^4b^2}=\frac{15}{h}\\&\\&15a^2=h^3b^2\\&h=\sqrt[3] {\frac{15a^2}{b^2}}\\&\\&x=y= \sqrt [3]{\frac{15b}{a}}\\&\\&\end{align}$$saludos
;)
;)