Anónimo
Cacular el tamaño de una muestra
Se requiere conocer la proporción de personas que han sufrido la gripe A en una región que consta de cuatro pueblos. El número de personas de cada pueblo es
Pueblo 1-->3000habitantes
Pueblo2-->1000 habitantes
Pueblo 3-->2000habitantes
Pueblo 4-->4000 habitantes
Tengo que calcular el tamaño de la muestra de modo que el error máximo de la estimación para la proporción en la región sea 0.05 con una probabilidad de 0,95
Lo que he hecho es tomar cada pueblo como un estrato y como me piden la proporción de personas en toda la región tengo que estimar la propoción poblacional. Y para calcular el tamaño de la muestra planteo lo siguiente:
$$\begin{align}&P(|\hat{P}-P|\le 0.05)=0.95\end{align}$$De forma que tipificando me queda
$$\begin{align}&P(|Z|\le \frac{0.05}{\sqrt{V(\hat{P})}})=0.95\end{align}$$Ahora bien
$$\begin{align}&V(\hat{P})=\sum_h \frac{N_h^{2}}{N^2}\frac{N_h-n_h}{N_h-1}\frac{P_hQ_h}{n_h}\end{align}$$Y de aquí no conozco las proporciones de cada estrato y ya no se seguir.
1 respuesta
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¡Hola María!
Se quiere que el intervalo
$$\begin{align}&(\hat P-0.05, \hat P+0.05)\\&\\&\text{Tenga el 95% de la probabilidad}\\&\\&\text{La fórmula del intervalo de confianza para una proporción es}\\&\\&\left(\hat P-z_{\alpha/2}·\sqrt{\frac{\hat P·(1-\hat P)}{n}}, \hat P+z_{\alpha/2}·\sqrt{\frac{\hat P·(1-\hat P)}{n}}\right)\\&\\&\text{luego debe ser}\\&\\&0.05=z_{\alpha/2}·\sqrt{\frac{\hat P·(1-\hat P)}{n}}\\&\\&z_{\alpha/2} \text{ es el coeficiente de confianza para el 95%}\\&\text{Lo normal es conocer que vale 1.96}\\&\\&\text{Si no se calcula así:}\\&\alpha=1-\text{nivel de confianza}= 1-0.95=0.05\\&\alpha/2 = 0.05/2 = 0.025\\&z_{0.025}\text{ es el valor que deja probabilidad 0.025 a su derecha}\\&\text{o lo que es lo mismo, 0.975 a su izquierda}\\&\text{Y entonces buscas 0.975 dentro de la tabla y ves que}\\&\text{corresponde al valor 1.96}\\&\\& \text{Si de alguna forma se conociera la variabilidad se usa.}\\&\text{Pero si no se conoce, se pone 0.5 que es el peor de los casos}\\&\\&\text{Con todo esto tendremos}\\&0.05=1.96·\sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{n}}\\&\\&\frac{0.05}{1.96}=\sqrt{\frac{0.25}{n}}\\&\\&\left(\frac{0.05}{1.96} \right)^2=\frac{0.25}{n}\\&\\&n = \frac{0.25}{\left(\frac{0.05}{1.96} \right)^2}=26.03\;\text{ personas}\end{align}$$Luego toma 27 personas para mayor seguridad y las distribuyes proporcionalmente al número de habitantes.
Hay 10000 habitantes en total y todas las poblaciones son múltiplos de 1000 habitantes. A cada 1000 le corresponde una muestra de 2.7. Yo en vez de multiplicar por 2.7 y redondear en cada caso tomaría 3 para cada mil y así no hay discriminación comparativa
Pueblo 1 ---> 3·3 = 9
Pueblo 2 ---> 1· 3 = 3
Pueblo 3 ---> 2·3 = 6
Pueblo 4 ---> 4·3 = 12
Al final se han tomado 30 de muestra pero está distribuida igualitariamente.
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