¿Como determinar las siguientes derivadas?

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Hola Mexyarg!

Te haré las tres primeras. Otros expertos te contestaran, o envialas en preguntas separadas.

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$$\begin{align}&a)y=\frac{2}{3}x^6-5x^{-2}\\&\\&y'=\frac{12}{3}x^5-5(-2)x^{-2-1}=4x^5+10x^{-3}\\&\\&b)\\&y=80e^{0.05x^2}\\&\\&y'=80·0.05·2xe^{0.05x^2}=8xe^{0.05x^2}\\&\\&c)\\&y=10(2x^2-1)(1-x^2)\\&\\&y'=10[f'g+fg']=10[4x(1-x^2)+(2x^2-1)(-2x)]=\\&10(4x-4x^3-4x^3+2x)\end{align}$$

saludos

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¡Hola Mexyarg!

No se pueden mandar tantos ejercicios en una sola pregunta porque es mucho trabajo que recibe los mismos puntos que si fuera un solo ejercicio. Haré los tres que quedan pero sin recrearme en detalles.

$$\begin{align}&(f+g)'= f'+g'\\&(k·f)'=k·f'\qquad donde\; k\in \mathbb R\\&\left(\frac fg  \right)'=\frac{f'g.fg'}{g^2}\\&(x^n)' = nx^{n-1}\\&(ln\,x)'=\frac 1x\\&\text{Y la inevitable regla de la cadena}\\&(f[g(x)])' = f'[g(x)]·g'(x)\\&\\&1) y=\frac{x}{x^3-1}\\&\\&y'=\frac{(x)'·(x^3-1) -x·(x^3-1)'}{(x^3-1)^2}=\\&\\&\frac{1·(x^3-1)-x[(x^3)'-1']}{(x^3-1)^2}=\\&\\&\frac{x^3-1-x(3x^2-0)}{(x^3-1)^2}=\\&\\&\frac{x^3-1-3x^3}{(x^3-1)^2}=\frac{-2x^3-1}{(x^3-1)^2}\\&\\&--------------\\&\\&y=4ln(6x^3-7x-10)\\&\\&y'=4·[ln(6x^3-7x-10)]'=\\&\\&4·\frac{1}{6x^3-7x-10}·(6x^3-7x-10)'=\\&\\&4·\frac{6(x^3)'-7(x)'-10'}{6x^3-7x-10}=\\&\\&4·\frac{6·3x^2-7·1-0}{6x^3-7x-10}=\\&\\&4·\frac{18x^2-7}{6x^3-7x-10}=\\&\\&\frac{72x^2-28}{6x^3-7x-10}\end{align}$$

La f  no se entiende.  Ten en cuente que l copias y pegas en esta página no queda bien, todo lo que es la altura de los exponentes se pierde y eso debería ser corregido poniendo entre paréntesis todo lo que es el exponente.  No obstante yo ya sé lo que creo que quieres decir.

$$\begin{align}&\text{Se basa en}\\&\\&(a^u)' = a^u·ln\,a·u'\\&\\&y= 5^{(-x^3+2x-1)}\\&\\&y'=5^{(-x^3+2x-1)}·ln\,5·(-3x^2+2)\end{align}$$

Y en esta última si quieres puedes cambiar el orden de los factores a tu gusto pero no se puede simplificar nada.

Y eso es todo, saludos.

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