Anónimo
El costo de producir cosméticos está dado por la siguiente expresión:
C(q)=0.04q al cuadrado + 3q + 400
C está en miles de pesos y q en unidades.
1.- Calcular la cantidad de unidades que se deben fabricar para que el costo promedio sea mínimo.
2.- Determine el valor de dicho costo promedio mínimo.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Anónimo!
Primero calculamos la función costo promedio, porque nos piden el mínimo del costo promedio, no del costo.
$$\begin{align}&C_p(q) = \frac{C(q)}q = \frac{0.04q^2 + 3q + 400}{q}\\&\\&C_p(q)=0.04q + 3 +\frac {400}q\\&\\&\text{Y ahora derivamos e igualamos a 0}\\&\\&C_p'(q)=0.04 - \frac{400}{q^2}=0\\&\\&0.04= \frac{400}{q^2}\\&\\&q^2=\frac{400}{0.04}=10000\\&\\&q=\sqrt{10000}=100\\&\\&\text{Comprobamos que es efectivamente un mínimo}\\&\\&C_p''(q) = \frac{800}{q^3}\\&C_p''(100)=\frac {800}{100^3}\gt 0\implies mínimo\\&\\&\text{Y el valor se de es costo promedio mínimo será}\\&\\&C_p(100) = 0.04·100 + 3 +\frac {400}{100}=4+3+4=11\\&\\&\\&\end{align}$$:
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Respuesta de ronald zavala
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Como estas.
Para el primer enunciado
$$\begin{align}&Primera derivada del costo\\&\\&C'(q) = 0.08q + 3\\&\\&Ahora.la.igualas.a.cero\\&\\&C'(q) = 0 = 0.08q+3\\&q=-3/.08 = -37.50 unidades\\&\end{align}$$El segundo enunciado
Evaluas el valor encontrado en el enunciado anterior en la funcion original.
$$\begin{align}&C(-37.5) = 0.04(-37.5)^2+3(-37.5)+400\\&C(-37.5) = 343.75\end{align}$$Asi llegas al resultado final
Te dejo la grafica de la funcion.
