Una duda,sobre hallar la ecuación de una curva.

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¡Hola Davidd vv!

La pendiente en un punto es la derivada de la función y, la abscisa es la x y la ordenada la función y.

Luego lo que nos dicen es:

$$\begin{align}&y'=\frac{1}{xy}\\&\\&o\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{1}{xy}\\&\\&\text{es de variables separadas}\\&\\&y\,dy = \frac {dx}x \\&\\&\text{selecciono ya la constante de integración que va bien}\\&\\&\int y\,dy = \int \frac{dx}{x}+ln C\\&\\&\frac {y^2}2=lnx+lnC= ln(Cx)\\&\\&y = \sqrt{2ln(Cx)}\\&\\&\text{reutilizaré la C para nombrar a }C^2\\&\\&y= \sqrt{ln(Cx^2)}\end{align}$$

Y aquí hay algo que no funciona. Cuando x=0 no esta definida la derivada ya que sería y' = 1/(0y) = 1/0 = infinito

La función no puede valer 4 para x=0, no solo porque el logaritmo vale -infinito sino porque es negativo y la raíz cuadrada no existe.

Aquí tienes una gráfica de alguna de esas funciones que no están definidas el el intervalo [-1, 1],  [-1/2, 1/2], [-1/4, 1/4], etc

y ninguna está definida en el punto 0.

Luego hay alguna errata en el enunciado, o no se dio cuenta el que hizo el problema, o yo lo he interpretado mal, pero me parece que lo he interpretado bien.

Y eso es todo, espero me digas si el enunciado está bien así. Y si ya no vas a intervenir más, valora la respuesta.

Saludos.

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;)
Hola David!
La pendiente en un punto es la derivada, luego tenemos la siguiente ecuación diferencial:

$$\begin{align}&y'=\frac{1}{xy}\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{1}{xy}\\&\\&ydy=\frac{1}{x}dx\\&integrando\\&\\&\int ydy=\int \frac{1}{x}dx\\&\\&\frac{y^2}{2}=ln|x|+C\\&\\&y^2=2 ln|x|+C\\&\\&y=\sqrt {2 ln|x|+C}\\&\\&f(0)=4\\&imposible  \not \exists \ ln0\\&\end{align}$$

dicha función no existe en x=0 , ya que no existe ln0

Otra interpretación del enunciado:

$$\begin{align}&y'=\frac{1}{x}y\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\\&\\&\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\\&\\&\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}\\&\\&lny=lnx+C\\&\\&lny=lnx+lnc=lncx\\&\\&y=cx\\&f(0)=4\end{align}$$

 el valor (0,4) no permite calcular c.

Mira si hay algún error en el enunciado.