Resolver los problemas con valor inicial de ecuaciones diferenciales mediante el método de transformadas de Laplace
La siguiente actividad consiste en resolver los problemas con valor inicial de ecuaciones diferenciales mediante el método de transformadas de Laplace
1 respuesta
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¡Hola Mauricio!
Se tranforma toda la ecuación lineal lineal. Hay reglas específicas para hallar la transformada de las derivadas y dejan la transformada de la función de una forma que se puede despejar. Y finalmente se calcula la transformada inversa con lo cual obtenemos la función.
Estas reglas para la transformada de la derivada son:
$$\begin{align}&\mathcal L\{y'\}= s·\mathcal L\{y\}-y(0)\\&\\&\mathcal L\{y''\}= s^2\mathcal L\{y\}-s·y(0)-y'(0)\\&\\&\text{Y ya no escribo el resto de reglas que ya conocerás}\\&\\&\text{Transformamos los dos lados de la ecuación}\\&\\&\mathcal L\{y''-2y'+5y\}=\mathcal L\{-8e^{-t}\}\\&\\&s^2\mathcal L\{y\}-s·y(0)-y'(0)-2\bigg( s·\mathcal L\{y\}-y(0)\bigg)+5\mathcal L\{y\}=-\frac 8{s+1}\\&\\&\text{ponemos los valores de y(0)=2, y'(0)=12 y operamos}\\&\\&s^2\mathcal L\{y\}-2s-12-2s·\mathcal L\{y\}+4+5\mathcal L\{y\}=-\frac 8{s+1}\\&\\&\text{Lo que no tiene }\mathcal L \text{ a la derecha,}\\&\text{y en la izquierda se saca factor común }\mathcal L\\&\\&\mathcal L\{y\}(s^2-2s+5)=-\frac 8{s+1}+2s+8\\&\\&\mathcal L\{y\}(s^2-2s+5)=\frac {-8+2s^2+2s+8s+8}{s+1}\\&\\&\mathcal L\{y\}=\frac {2s^2+10s}{(s+1)(s^2-2s+5)}\\&\\&\text{factorizamos mejor}\\&\\&s= \frac{2\pm \sqrt{4-20}}{2}= \frac{2\pm \sqrt {-16}}{2}=1\pm 2i\\&\\&\text{¡Ah, pues no se puede!}\\&\\&\text{Entonces las fracciones simples serán}\\&\\&\mathcal L\{y\}=\frac {a}{s+1}+\frac{bs+c}{s^2-2s+5}\\&\\&2s^2+10s=a(s^2-2s+5)+(s+1)(bs+c)\\&\\&2s^2+10s=(a+b)s^2+(-2a+b+c)s+5a+c\\&\\&a+b=2\implies b=2-a\\&-2a+b+c=10\implies-2a+2-a+c=10\implies -3a+c=8\\&5a+c=0\\&\\&8a=-8\implies a=-1\implies c=5\implies b=3\\&\\&\mathcal L\{y\}=-\frac{1}{s+1}+ \frac{3s+5}{s^2-2s+5}\\&\\&\text{calculamos la transformada inversa}\\&\\&y = \mathcal L^{-1}\bigg\{-\frac{1}{s+1}+ \frac{3s+5}{s^2-2s+5}\bigg\}\\&\\&\text{el primer término es fácil, el segundo hay que arreglarlo}\\&\\&y=e^{-t}+ \mathcal L^{-1}\bigg\{ \frac{3s+5}{(s-1)^2+4}\bigg\}=\\&\\&\text{El 3s irá para 3 por coseno junto con un -3}\\&\\&e^{-t}+ \mathcal L^{-1}\bigg\{ \frac{3s-3}{(s-1)^2+4}+\frac{8}{(s-1)^2+4}\bigg\}=\\&\\&e^{-t}+e^t·3 \cos 2t+e^t·4 sen \,2t\\&\\&y=e^{-t}+ e^t(3 \cos 2t+4sen\,2t)\\&\\&\\&\\&\end{align}$$La parte de la transformada inversa no es sencilla de explicar, hay que fijarse bien en cuales son las transformadas que existen de las funciones y descomponer lo que tenemos en la suma de varias de ellas.
Saludos.
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Espera, la solución correcta es:
$$\begin{align}&y=-e^{-t}+ e^t(3 \cos 2t+4sen\,2t)\end{align}$$desde el primer momento puse mal el signo de la transformada inversa del primer término, corrígelo todas las veces.
