Duda sobre hallar el área de un triangulo mediante integración..!

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¡Hola David vv!

Tendras que tomar un triángulo rectángulo y dar las ecuciones de sus lados que sean necesarios para hacer la integral. Yo voy a hacer el que creo más sencillo. Es un triángulo equilátero de lado 1 con el vértice izquierdo en (0,0) y la base sobre el eje X.

Entonces los dos vértices de la base son

A(0,0) B(1,0)

Y el vértice de arriba será el que formando 60º con el eje está a distancia 1 del origen. No hay que pensar mucho para averiguar que dicho punto es

C(Cos60º, sen60º)

Entoces la función a integrar es la recta que pasa por A y C que es bien sencilla

y = x·tg60º

Si integramos esa función entre 0 y 1/2 tendremos la mitad del área por simetría del triaángulo equilátero sobre la línea de la altura. Mltiplicando por 2 nos dará el área total del triángulo.

$$\begin{align}&A=2\int_0^{\frac 12}tg60º·x\;dx=\\&\\&2·tg60º·\frac{x^2}{2}\bigg|_0^{\frac 12}=\\&\\&tg60º·{x^2}\bigg|_0^{\frac 12}=\frac 14tg60º = \frac{\sqrt 3}{4}\\&\\&\\&\text{Mientras que por geometria}\\&\\&A=\frac{b·h}{2}=\\&\\&\text{la base es 1}\\&\text{la atura es }sen60º\\&\\&=\frac{sen 60º}{2}= \frac{\frac{\sqrt 3}{2}}{2}= \frac{\sqrt 3}{4}\end{align}$$

Y como vemos, el área es la misma.

Y eso es todo, saludos.

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