Ecuaciones mencionando el método utilizado, así como describir los pasos para llegar a la solución
Encontrar la solución general de la ecuación mencionando el método utilizado, así como describir los pasos para llegar a la solución.
2 Respuestas
Respuesta de Lucas m
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;)
Hola Mauricio!
Es una ecuación diferencial lineal no homogénea,
1º forma estandard de un ED lineal:
$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\\&\\&\frac{dy}{dx}-m_2y=c_1e^{m_1x}\\&\\&2º Factor integrante:\\&FI=e^{\int P(x)dx}= e^{ \int -m_2 dx}=e^{-m_2x}\\&\\&3º\\&Multiplicar \ ED \ por FI:\\&\\&e^{-m_2x} \frac{dy}{dx}-m_2e^{-m_2x} y=c_1 e^{m_1 x}e^{-m_2x}\\&\\&e^{-m_2x} \frac{dy}{dx}-m_2e^{-m_2x} y=c_1 e^{(m_1-m_2) x}\\&\\&4º \\&Identificar \ que \ el \ miembro \ de \ la \ izquierda \ es \ la \ derivada \ del \ pr0ducto \ del \ factor \ integrante \ por\\&\\&la \ variable \ dependiente:\\&\\&\frac{d}{dx} \Bigg [ e^{-m_2x} ·y \Bigg ]=c_1e^{(m_1-m_2)x}\\&\\&5º\\&Integrando \\& \int \frac{d}{dx} \Bigg [ e^{-m_2x} ·y \Bigg ]dx= \int c_1e^{(m_1-m_2)x} dx\\&\\& e^{-m_2x} ·y= \frac{c_1e^{(m_1-m_2)x} }{m_1-m_2}+C\\&\\& y= \frac{c_1e^{(m_1-m_2)x}e^{m_2x} }{m_1-m_2}+C e^{m_2x}\\&\\&y=\frac{c_1e^{m_1x} }{m_1-m_2}+ C e^{m_2x}\\&\\&\\&\end{align}$$Saludos
;)
;)
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Mauricio!
Es una ecuación lineal de primer orden con coeficientes constantes. Puedes usar el método especificco para ella de una respuesta
y(x)=u(x)·v(x)
O puedes usar el método general que sirve para las de cualquier orden.
Esto harías por ejemplo si como yo no te acordaras del método específico para las de primer orden y estuvieras sin libros y sin internet.
Además, como veo que ya te la hicieron de esa forma yo lo haré con el método general.
$$\begin{align}&y'-m_2y = c_1e^{m_1x}\\&\\&\text{La ecuación característica es}\\&\\&k - m_2=0\\&\\&k=m^2\\&\\&\text{Luego la solución general de la homogénea es}\\&\\&y_{gh}=A·e^{m_2x}\\&\\&\text{Para la solución particular de la completa probamos}\\&\\&y_{pc}=Be^{m_1x}\\&\\&Bm_1·e^{m_1x}-Bm_2e^{m_1x}=c_1e^{m_1x}\\&\\&B(m_1-m_2)e^{m_1x}=c_1e^{m_1x}\\&\\&B =\frac{c_1}{m_1-m_2}\\&\\&\text{Luego}\\&\\&y_{pc}= \frac {c_1}{m_1-m_2}e^{m_1x}\\&\\&\text{Y la solución general de la completa es}\\&\\&y=y_{gh}+y_{pc}=A·e^{m_2x}+\frac {c_1e^{m_1x}}{m_1-m_2}\\&\\&\text{donde A es la que puede variar}\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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