Se presenta una ecuación diferencial. La actividad consiste en encontrar la solución general ecuaciones mencionando el método.
Ecuación diferencial. La actividad consiste en encontrar la solución general de la ecuación mencionando el método utilizado, así como describir los pasos para llegar a la solución.
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Mauricio!
Veo desde aquí que la suma de exponentes de todos los términos que quedarían tras operar el paréntesis es 2, eso nos lleva de cabeza a una ecuación diferencial homogénea.
$$\begin{align}&v(3x+2v)dx-x^2dv=0\\&\\&v(3x+2v)dx=x^2dv\\&\\&\frac{dv}{dx}=\frac{v(3x+2v)}{x^2}\\&\\&\text{Hacemos un cambio}\\&\\&z=\frac vx\implies v=zx\\&\\&\frac{dv}{dx}=\frac{dz}{dx}·x+z=\frac{zx(3x+2zx)}{x^2}\\&\\&\frac{dz}{dx}·x+z =3z+2z^2\\&\\&\frac{dz}{dx}·x =2z+2z^2\\&\\&\text{Es de variables separadas}\\&\\&\frac{dz}{2z+2z^2}=\frac {dx}x\\&\\&\frac 12\int \frac{dz}{z+z^2} = ln|Cx|\\&\\&\frac{1}{2}\int \frac {dz}{z(z+1)} = ln|Cx|\\&\\&\frac{1}{2}\int \left(\frac {a}{z}+\frac{b}{z+1}\right)dz = ln|Cx|\\&\\&\text{Y se ve directamente que es a=1, b=-1}\\&\\&\frac 12(ln|z|-ln|z+1|)=ln|Cx|\\&\\&\text{Y deshacemos el cambio}\\&\\&\frac 12\left(ln\bigg|\frac vx\bigg|-ln\bigg|\frac vx+1\bigg|\right)=ln|Cx|\\&\\&ln\left|\frac{\frac vx}{\frac vx+1} \right|=2\,ln|Cx|\\&\\&ln\left|\frac{v}{v+x} \right|=ln|Cx^2|\\&\\& \left|\frac{v}{v+x} \right|=|C|x^2\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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