Para la función dada determine el respectivo dominio y rango:

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Hola william!
Tenemos:

$$\begin{align}&x^2y-8x^2=y^2+18y+81\\&trasponemos \  términos \ a \ la\ derecha:\\&0=-x^2y+8x^2+y^2+18y+81=0\end{align}$$

como queremos despejar la y,reorganizo la expresión según potencias de y

$$\begin{align}&0=y^2+18y-x^2y+81+8x^2\\&\\&factor\ común \ a \ la \ y\\&\\&0=y^2+y(18-x^2)+(81+8x^2)\\&ecuacion \de \ 2º grado \ en \ y\\&la\ x\ actua \ como \ coeficiente:\\&ay^2+by+c=0\\&\\&y=\frac{-b \ \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\\&\\&a=1\\&b=18-x^2\\&c=81+8x^2\\&\\&\Delta=b^2-4ac=discriminante\\&tiene \ solución \Longleftrightarrow  \Delta>0\end{align}$$

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¡Hola William!

El dominio está restringido por dos condiciones, que el radicando raíz sea no negativo y que el denominador sea distinto de 0. Eso en la practica es una sola condición:

$$\begin{align}&x-8\gt 0\implies x\gt8\\&\\&Dom f=(8,\infty)\\&\\&\text{Y el rango es el dominio de la inversa,}\\&\text{se obtiene despejando x}\\&\\&y= \frac{x+9}{\sqrt{x-8}}\\&\\&y^2=\frac{x^2+18x+81}{x-8}\\&\\&xy^2-8y^2=x^2+18x+81\\&\\&x^2+(18-y^2)x+81+8y^2=0\\&\\&x=\frac{y^2-18\pm \sqrt{(18-y^2)^2-4(81+8y^2)}}{2}\\&\\&\text{Para que esté definida x debe ser}\\&\\&(18-y^2)^2-4(81+8y^2)\ge0\\&\\&y^4-36y^2+324-324-32y^2\ge 0\\&\\&y^4-68y^2\ge0\\&\\&y^2(y^2-68)\ge0\\&\\&y^2-68\ge0\\&\\&y^2\ge 68\\&\\&y\ge \sqrt {68}\\&\\&\text{Luego }Rango f=[\sqrt{68},\infty)\end{align}$$

Espero que te sirva y entiendas la respuesta.

Saludos.

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