¿Como resuelvo estos Límites trigonométricos con función Sen?

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¡Hola Anónimo!

Mientras no deis la regla de l'Hôpital y creo que no la habréis dado todos estos límites necesitan usar uno que se da por sabido y es este.

$$\begin{align}&\lim_{\theta \to 0} \frac{sen\theta}{\theta}=1\\&\\&\text{Y con esto tendremos}\\&\\&10)\quad \lim_{\theta \to 0} \frac{sen \frac{\theta}2}{\theta}=\\&\\&\text{en el denominador multiplicamos y dividimos por 2}\\&\\& \lim_{\theta \to 0} \frac{sen \frac{\theta}2}{\frac{2\theta}2}=\\&\\&\text{Sacamos fuera el que sobra}\\&\\&\frac 12 \lim_{\theta \to 0} \frac{sen \frac{\theta}2}{\frac{\theta}2}=\\&\\&\text{ya tenemos igual el ángulo del seno y el denominador}\\&\text{Si quieres llamalo }\beta\\&\\&\beta=\frac{\theta}{2}\\&\\&\text{Si }\theta \to 0\implies \beta \to 0\\&\\&\text{luego haciendo el cambio queda}\\&\\&=\frac 12\lim_{\beta \to 0} \frac{sen\beta}{\beta}= \frac 12·1= \frac 12\\&\\&\text{En los siguientes iré más rápido y el cambio se da por hecho}\\&\\&\\&11)\quad \lim_{\theta \to 0}\frac{sen 4\theta}{\theta}= \lim_{\theta \to 0}\frac{4\,sen 4\theta}{4\,\theta}=4 \lim_{\theta \to 0}\frac{sen 4\theta}{4\theta}=4·1=4\\&\\&\\&\\&12)   \lim_{x\to 0} \frac{sen 4x}{3x}=\frac 13· \lim_{x\to 0} \frac{sen 4x}{x}=\\&\\&\text{Y este es el mismo que hemos calculado antes con x por }\theta\\&\\&= \frac 13·4 = \frac 43\end{align}$$

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No olvides valorar la respuesta. Recuerda que dar algún punto al vago e inexperto de Herrera está mal visto por la comunidad de matemáticos verdaderos que trabajamos aquí y te puede acarrear que no respondamos más tus preguntas, por mi parte eso lo aplico automáticamente.

Me ha quedado muy claro y me ha sido muy útil, definitivamente es usted una eminencia en el tema... gratitudes infinitas.

Saludos.