Limite infinito cociente de polinomios
$$\begin{align}&\lim_{x \to 0} \frac{3x^8-2x^4}{4x^7-x^5}\end{align}$$El problema que tengo es que quiero simplificarlo lo suficiente como para poder hacer los limites laterales y comprobar si es +infinito o -infinito. Lo maximo que pude simplificarlo:
$$\begin{align}&\frac{3x^4-2}{x(4x^2-1)}\end{align}$$Seguramente hay algo que estoy pasando por alto o alguna forma mas sencilla de resolverlo.
3 Respuestas
No se puede aplicar L`Hopital en el segundo paso pues queda
$$\begin{align}&\lim_{x \to 0} \frac{3x^4-2}{4x^3-x}=\frac{-2}{0}= \infty\end{align}$$Para hacer los límites laterales lo tienes que decidir a partir de la expresión anterior
$$\begin{align}&\lim_{x \to 0^-}\frac{3x^4-2}{4x^3-x}=\frac{-2}{+}=- \infty\\&\\&\lim_{x \to 0^+}\frac{3x^4-2}{4x^3-x}=\frac{-2}{-}=+\infty\\&\\&\\&f(-0,0001)<0\\&f(0,00001)>0\\&\\&\\&\end{align}$$Un truco es dar un valor próximo al cero,por la izquierda y otro por la derecha para ver el signo que queda.
O bien observa que el numerador es siempre negativo, ya que una potencia de números próximos a cero se hacen más próximos a ceros todavía, con lo cual el signo del numerador depende del -2.
Por otra parte el signo del denominador depende del -x, ya que x^4 es más pequeño,
Lo cual hace que por la derecha del cero -x es negativo, en cambio por la izquierda del cero -(-0,0001) es positivo.
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La simplificación que has hecho está bien, no se necesita hacer más
$$\begin{align}&\lim_{x\to 0}\frac{3x^4-2}{x(4x^2-1)} = -\frac{2}{0}=\infty\end{align}$$Si quieres precisar hacia que infinito tiende por cada lado es cuestíon de hacer cuentas con los signos.
El numerador tiende siempre a -2 tanto por la derecha como por la izquierda y en un entorno suficientemente pequeño de 0 será siempre negativo.
En el denominador, si el límite es por la izquierda tendrás el factor x que será negativo y el factor (4x^2-1) que tiende a -1, por lo que el signo del denominador será negativo por negativo=positivo. Por lo tanto el signo total será negativo del numerador entre positivo = negativo y el límite será -infinito.
Si el límite es por la derecha lo único que cambiará es que el factor x será positivo, lego el denominador será positivo por negativo = negativo y el signo total sera negativo entre negativo = positivo, luego el límite será +infinito.
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Y eso es todo.
No se si te dejan usar L'Hopital, ya que a partir de la expresión que tienes, podemos llegar a
$$\begin{align}&\lim_{x \to 0} {3x^4-2 \over x(4x^2-1)} = \lim_{x \to 0} {3x^4-2 \over 4x^3-x} = (L'Hopital)\\&\lim_{x \to 0} {12x^3 \over 12x^2-1} = (L'Hopital)\\&\lim_{x \to 0} {36x^2 \over 24x} = (simplificando)\\&\lim_{x \to 0} {3x \over 2}\\&\end{align}$$y está claro que cuando x tiende a cero, esa última expresión tiende a cero!
Ouch! Cometí un error elemental y es que no verifiqué que se cumplan las premisas para aplicar L'Hopital! Así que mira la respuesta de Lucas (aunque no estoy muy de acuerdo con los argumentos que da. Si bien son correctos, tal vez te pidan "formalizarlos" un poco más).