Quien Análisis de Límites y Continuidad.

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Aplicando la regla de L'Hopital, es muy sencillo:

$$\begin{align}&\lim_{x \to 0} \frac{sen( \frac{x}{2})}{x}=\frac{0}{0}=derivando(L'Hopital)\\&\\&=\lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{2}\cos( \frac{x}{2})}{1}=\frac{1}{2} cos0=\frac{1}{2}\end{align}$$

saludos

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¡Hola Andrés!

Si todavía no has dado la regla de l'Hôpital este límite suele ponerse a los alumnos para que lo resuelvan aplicando el límite conocido de

$$\begin{align}&\lim_{\theta \to 0} \frac{sen\theta}{\theta}=1\\&\\&\text{Y con esto tendremos}\\&\\&10)\quad \lim_{\theta \to 0} \frac{sen \frac{\theta}2}{\theta}=\\&\\&\text{en el denominador multiplicamos y dividimos por 2}\\&\\& \lim_{\theta \to 0} \frac{sen \frac{\theta}2}{\frac{2\theta}2}=\\&\\&\text{Sacamos fuera el que sobra}\\&\\&\frac 12 \lim_{\theta \to 0} \frac{sen \frac{\theta}2}{\frac{\theta}2}=\\&\\&\text{ya tenemos igual el ángulo del seno y el denominador}\\&\text{Si quieres llamalo }\beta\\&\\&\beta=\frac{\theta}{2}\\&\\&\text{Si }\theta \to 0\implies \beta \to 0\\&\\&\text{luego haciendo el cambio queda}\\&\\&=\frac 12\lim_{\beta \to 0} \frac{sen\beta}{\beta}= \frac 12·1= \frac 12\end{align}$$

Aunque parezca aparatoso se resuelve directamente en un vistazo.

Ese límite que te digo que se usa es fundamental, ya que para calcular la fórmula de la derivada del seno es necesario. Y por supuesto esto debe poder usarse antes que la regla de l`Hôpital que se basa en las derivadas, luego ese límite es la gallina que va antes del huevo.

Y eso es todo, saludos.

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