Buen día para todos, alguien podría explicarme un poco sobre integrales en estos ejercicios, se me dificulta un poco poder resol

;)

Hola alberto!

Te hago las dos primeras. Otros expertos te contestarán las restantes, o mándalas en otras preguntas. Cada una de esas integrales se hacen por métodos diferentes.

9.- Sustitución directa ( o cambio de variable)

10. Sustitución trigonométrica o hiperbólica

11. Por partes

12. Descomposición en fracciones simples.

9._  cuando en la función a integrar tienes una parte (que multiplica al diferencial)y es la derivada de otra parte, a esta última se le llama t.

Así tienes el paréntesis (1+ sqrt(x)) cuya derivada sería 1/(2 sqrt(x)) que tambien forma parte de la integral y multiplicaría al diferencial. (En el integrando faltaría ese 2, pero si falta o sobra una constante el cambio de variable funciona igual)

Sqrt quiere decir raiz cuadrada

Así tenemos.

$$\begin{align}&\int \frac{1}{\sqrt x (1 +\sqrt x)}dx= \int \frac{1}{1+ \sqrt x} ·\frac{dx}{\sqrt x}==\\&\\&sustitución:\\&1+ \sqrt x=t \rightarrow  derivando \rightarrow \frac{1}{2 \sqrt x} dx=dt \Rightarrow \frac{dx}{\sqrt x}=2 dt\\&\\&== \int \frac{1}{t}2dt=2 \int \frac{1}{t}dt=2 ln |t|=2 ln|1 + \sqrt x|+C\end{align}$$

10.- no es nada fácil

Es una integral cuya sustitución se ha de conocer de la bibliografía o de los métodos de clase. Las integrales tipo R(x, srt(x^2-1)) que quiere decir funciones racionales con el término sqrt(x^2-1) se hacen o bien con una sustitución hiperbólica (si las conoces), o bien con una sustitución trigonométrica:

Te la hago de las dos maneras:

A) El cambio es x=cosht (coseno hiperbólico de t)

$$\begin{align}&\int \frac{1}{\sqrt {x^2-1}}dx==\\&\\&x=cosht  \Rightarrow dx= senh t\\&x^2-1=cosh^2t-1=senh^2t\\&\\&== \int \frac{1}{\sqrt{senh^2t}}senhtdt=\int \frac{1}{senht}senht dt=\int dt= t=argcoshx=\\&\\&=ln(x+ \sqrt {x^2-1}) + C\end{align}$$

conociendo las funciones hiperbólicas esta integral complicada se hace sencilla. Si no las conoces te tienen que haber enseñado que la funciones

B) Tipo R(x, sqrt(x^2-1)) se hacen on la sustitución trigonométrica x=sect

$$\begin{align}&\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx==\\&\\&x=sect\\&dx=sect·tant·dt\\&\\&identidad \ trigonométrica \ a \ usar: 1+tan^2t=sec^2t\\&\\&== \int \frac{ 1}{\sqrt{ sec^2 t -1}}sect·tant·dt=\int \frac{1}{tant}·sec t ·tant· dt=\int sec t dt=\\&\\&=ln(tant+sect)=ln(\sqrt {x^2-1}+x) +C\\&\\&tant= \sqrt {sec^2t-1}= \sqrt {x^2-1}\end{align}$$

La otra complicación del cambio trigonométrico es que has de conocer la  integral de la secante. Yo siempre mela he sabido como inmediata

int  sect= ln(sect+tant)

Esta integral no es nada fácil de obtener. Si la pones en youtube encontrarás diferentes métodos, nada evidentes.

Saludos

;)

;)

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¡Hola Alfonso!

La integral de la secante que decía Lucas no es muy fácil, pero se puede hacer, aquí la tienes:

$$\begin{align}&\int \frac{dt}{cost}=\\&\\&tg \frac t2=u\\&\\&\text{las dos fórmulas de abajo se pueden}\\&\text{deducir pero las copio de un libro}\\&\\&cost=\frac{1-u^2}{1+u^2}\\&\\&dt = \frac {2du}{1+u^2}\\&\\&=\int \frac{1+u^2}{1-u^2}·\frac {2du}{1+u^2}=\int \frac{2du}{1-u^2}=\\&\\&\int \frac{2du}{(1+u)(1-u)}=\int \frac{du}{1+u}+\int \frac{du}{1-u} =\\&\\&ln|1+u| - ln|1-u| =\\&\\&ln\left|1+tg \frac t2\right|-ln\left|1-tg \frac t2\right|=\\&\\&ln\left|\frac{1+tg \frac t2}{1-tg \frac t2}  \right|=ln \left|\frac{\left(1+tg \frac t2\right)^2}{1-tg^2 \frac t2}\right|=\\&\\&ln\left|\frac{\frac{(\cos \frac t2+sen \frac t2)^2}{\cos^2 \frac t2}}{\frac{\cos^2 \frac t2-sen^2 \frac t2}{\cos^2 \frac t2}}  \right|=ln\left|\frac{1+2cos \frac t2sen \frac t2}{cost}\right|=\\&\\&ln\left|\frac{1+sent}{cost}  \right|=ln\left|sec\,t+tg\,t  \right|\\&\\&\end{align}$$

Lo que no puse es como se obtiene las expresiones de cost y dt y sent si hubiera hecho falta, pero no es difícil sabiendo un poquito de trigonometría.

Haré también la 11) que es necesario saber un truquillo, si no es probable que no caigas.

Llamemos I a la integral de eso

$$\begin{align}&\text{Primero recuerdo que la fórmula de }\\&\text{integración por partes es}\\&\int u\;dv = uv-\int v\;du\\&\\&I=\int e^x senx\; dx =\\&\text{Debes tomar la exponencial como u}\\&u= e^x  \qquad\qquad du = e^x \;dx\\&dv=senx\;dx\quad v=-cosx\\&\\&=-e^x \cos x + \int e^x cosx\;dx =\\&\\&\text{Respetamos el lugar de }e^x\\&u=e^x\qquad\qquad\;\; \;du = e^x\;dx\\&dv=\cos x\;dx\qquad v= senx\\&\\&=-e^xcos x+e^xsenx-\int e^xsen x \;dx\\&\\&\text{Ahora debes fijarte que tienes la integral inicial}\\&\text{luego tienes esta igualdad}\\&\\&I =-e^xcos x+e^xsenx-I\\&\\&\text {de donde}\\&\\&2I = e^x(senx-cosx)\\&\\&I = \frac{senx - cosx}{2}\end{align}$$

Y eso es todo, la que queda mándala en otra pregunta.  Las integrales deben ir de 2 en 2 si son inmediatas y de 1 en 1 si no lo son.

Saludos.

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