Dimensión de un espacio Vectorial

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¡Hola Misael!

La dimensión del espacio generado por un conjunto de vectores es el número de vectores linealmente independientes que tiene. Esto se puede calcular apilándolos y haciendo operaciones de fila para dejar ceros por debajo de la diagonal principal. Cuando ya no se puedan hacer más ceros, las filas que no sean todo ceros serán el número de vectores linealmente independientes.

Cuando solo son dos vectores basta con ver si son proporcionales o no

a) Se ve que no son proporcionales ya que de acuerdo con las coordenadas primeras, el segundo tendría que tener todas las coordenadas del primero multiplicadas por 3.

Luego son linealmente independientes y la dimensión es 2.

b) Voy a usar lo de apilarlos, pero los puedo poner en el orden que más me convenga

1   2   1

0   1  -2

1  -1   1

a la tercera le resto la primera

1   2   1

0   1  -2

0  -3   0

Y ya está, pero por si lo quieres dejar en diagonal suma 3 veces la segunda a la tercera

1   2   1

0   1  -2

0   0  -6

Con lo cual hay tres vectores l.i. y la dimensión del espacio es 3.

Otra forma cuando el número de filas es igual al de columnas es calcular el determinate, lo hubieramos hecho desde el principio

|0  1  -2|

|1  -1  1| = 0+1-4-2-1 = -6

|1   2  1|

Que al ser distinto de 0 indica que los tres vectores son independientes, luego la dimensión es 3.

Y eso es todo, saludos.

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¡Gracias!  hola muchas Gracias muy clara como siempre tu respuesta. Esa era mi principal duda, como saber cuando los vectores son independientes. 

Me podrías explicar un poco más ¿cómo saber cuando dos vectores son linealmente independientes y cuando no?. Gracias por tu tiempo

El vector 0 siempre es dependiente con cualquier otro.

Dos vectores son dependientes si son proporcionales

(a, b, c) = k(d, e, f)

Entonces cuando te dan dos vectores tú calculas esa k dividiendo cualquier coordenada del segunda vector entre su correspondiente del vector primero y viendo si sirve para las otras coordenadas. En el caso del ejercicio.

(3, 2, 1) = k(1, -2, -3) = (k, -2k, -3k)

esto obligaría a que

3 = k

2 = -2k

1=-2k

por la primera debe ser k=3

y entonces vamos a la segunda y sería

2 = -6

falso, luego no son proporcionales y son independientes.

También te sirve el hacer una operación de filas igual que ciando son más

1  -2  -3

3   2   1

tendrías que restar el primero multiplicado por 3 al segundo y queda

1   -2  -3

0 8 10

Y ya no se pueden hacer nuevos ceros manteniendo los anteriores, luego son independientes.

Y sobre las operaciones de filas pues es cuestión de que practiques, la teoría es bien sencilla pero en la practica todos nos equivocamos alguna vez.

Además ya ves que en esta página no se trabaja bien con vectores y matrices. Hay una que me ha dejado alineadas las columnas y en otra ha quitado los espacios y ha quedado desalineada, no entiendo por qué.

Déjame que pruebe si era porque un número tenía 2 cifras

1 2 3 4 10 12 14

10 11 12 1 2 5 7

Yo te puedo asegurar que están bien alineadas y con varios espacios, a ver como queda tras mandarlo.

Un asco, pero me parece que eso es culpa del corrector ortográfico cuando detecta un fallo o lo que piensa que es un fallo

  1     2     3   4   10   12   14

10 11 12 1 2 5 7

Nada, esta vez no hubo fallo pero quité espacios de la última fila, parece que de ahí siempre los quita, que mierda de página.