Desarrolle la fucion raiz(x) en serie de potencias centrada en x=1 y verifique que utilizando la aproximacion lineal de dicha..

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¡Hola Patricio!

Las derivadas son:

$$\begin{align}&f(x)= \sqrt x=x^{\frac 12}\\&\\&f'(x)= \frac 12x^{-\frac 12}\\&\\&f''(x)= -\frac{1}{4}x^{-\frac 32}\\&\\&f'''(x)=\frac 38x^{-\frac 52}\\&\\&f^{(4)}(x) = -\frac {15}{16}x^{-\frac 72}\\&\\&\text{Esa función factorial de impares del numerador}\\&\text{no sé expresarla, luego no calcul el término general}\\&\\&\sqrt x=1+\frac 12(x-1)-\frac 14·\frac{1}{2!}(x-1)^2+\frac{3}{8}·\frac{1}{3!}(x-1)^3-\frac{15}{16}·\frac{1}{4!}(x-1)^4+...\\&\\&\sqrt{x}=1+\frac 12(x-1)-\frac 18(x-1)^2+\frac{1}{16}(x-1)^3-\frac{5}{128}(x-1)^4+...\\&\\&\text{La aproximación lineal es}\\&\\&\sqrt{x}=1+\frac 12(x-1)=\frac{1+x}{2}\\&\\&\text {Y el error sera}\\&\\&E(x)=\frac{(1-x)^2}{2}f''(\xi)\qquad\text{ con }\xi \in(1,x)\;ó\;(x,1)\\&\\&E(x)= \frac{(1-x)^2}{2}·\left(-\frac 14\xi^{-\frac 32}\right)=- \frac {(1-x)^2}{8\xi^{\frac 32}}\\&\\&\text{Para el punto x que nos dan}\\&\\&|E(0.9999999995)|= \frac{(1-0.9999999995)^2}{8\xi^{\frac 32}}=\frac{\left(5·10^{-10}\right)^2}{8\xi^{\frac 32}}=\\&\\&\frac{25·10^{-20}}{8\xi^{3/2}}\\&\\&\text{esto será mayor cuanto menor sea el denominador,}\\&\text{o sea, cuanto menor sea }\xi, \text{ luego tomaremos}\\&\xi=0.9999999995\\&\\&|E(0.9999999995)|\le \frac{25·10^{-20}}{8·0.9999999995^{3/2}}=2.5·10^{-19}\lt10^{10}\end{align}$$

Luego el error es muchisimo menor que lo que piden

Esto dice la calculadora de Windows 10 que es la raíz de 0.9999999995

0,99999999974999999996874999999219

Y esto es lo que dice la fórmula lineal (1+x)/2

0,99999999975

La diferencia es:

3,1250000007812500002441495838631 e-20

Y eso es todo, saludos.

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