Cual es la respuesta para este problema de ecuaciones diferenciales?
Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.
y''+2y-y=0
Donde y(0)=0, y´(0)=-1
2 respuestas
Respuesta de Sergio David Rojas Vega
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Primero se calculan las raíces de la ecuación característica, segun sean reales distintas, reales iguales o imaginarias la solución se elabora de forma distinta.
Para esta ecuación diferencial lineal homogénea la ecuación característica es
k^2 + 2k - 1 = 0
No es de esas que se le ve la factorización a simple vista, reslovemos la ecuación de segundo grado.
$$\begin{align}&k=\frac{-2\pm \sqrt{4+4}}{2}=-1\pm \sqrt 2\\&\\&\text{perfecto, son dos raíces distintas, entonces}\\&\text{la solución general es}\\&\\&y=C_1\,e^{r_1·t}+C_2\,e^{r_2·t}\\&\\&\text{Luego en este caso}\\&\\&y=C_1\,e^{(-1+\sqrt 2)·t}+C_2\,e^{(-1- \sqrt 2)·t}\\&\\&\text{Y ahora calcularemos las constantes que}\\&\text{cumplen las condiciones iniciales}\\&\\&y(0)=0\\&C_1\,e^{(-1+\sqrt 2)·0}+C_2\,e^{(-1- \sqrt 2)·0}=0\\&C_1+C_2=0\\&\\&y'(0)=-1\\&C_1(-1+ \sqrt 2)e^{(-1+\sqrt 2)·0}+C_2(-1- \sqrt 2)\,e^{(-1- \sqrt 2)·0}=-1\\&C_1(-1+ \sqrt 2)-C_2(1+\sqrt 2)=-1\\&\\&\text{Debemos resolver ese sistema de dos ecuaciones}\\&\text{despejamos en la primera }C_1\\&C_1=-C_2\\&\\&\text{y sustituimos en la segunda}\\&-C_2(-1+ \sqrt 2)-C_2(1+\sqrt 2)=-1\\&\\&2 \sqrt 2C_2=-1\\&\\&C_2=\frac{-1}{2 \sqrt 2}=-\frac{\sqrt 2}{4}\implies C_1=\frac{\sqrt 2}{4}\\&\\&\text{Luego la solución particular es}\\&\\&y=\frac {\sqrt{2}}4e^{(-1+\sqrt 2)·t}-\frac{\sqrt 2}{4}\,e^{-(1+ \sqrt 2)·t}\\&\end{align}$$:
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