Conque método, puedo resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, por método de homogéneas

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Hola omar salcedo!

1.- Es de variables separables:

$$\begin{align}&(1+y^2)dx=x^2dy\\&x^{-2}dx=\frac{1}{1+y^2}dy\\&\int \frac{1}{1+y^2}dy= \int x^{-2}dx\\&\\&arctany=\frac{x^{-2+1}}{-1}+C\\&\\&arctany=-\frac{1}{x}+C\\&\\&y=tan \Big( \frac{-1+Cx}{x} \Big)\\&\\&2.-\\&Ecuacion \ Diferencial \ Ordinaria \ Lineal \ de \ primer \ orden:\\&y'+P(x)y=Q(x)\\&y'=\frac{x+y}{x}=1+\frac{y}{x}\\&\\&y'-\frac{y}{x}=1\\&Factor \ Integrante:e^{\int \frac{-1}{x}dx}=e^{-lnx}=e^{lnx^{-1}}=x^{-1}\\&\\&multiplicando ED \ por  \ FactorIntegante:\\&x^{-1}y'-x^{-2} y=x^{-1}\\&\\&\frac{d}{dx} \Big(x^{-1}y \Big)=x^{-1}\\&integrando:\\&\\&\int \frac{d}{dx} \Big(x^{-1}y \Big)dx=\int x^{-1}dx\\&\\&x^{-1}{y}=lnx+C\\&y=xlnx+Cx\end{align}$$

saludos

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¡Hola Omar!

La primera es de variables separadas y no tiene más secreto y es fácil de resolver como ya te hizo Lucas

La segunda también la puedes resolver teniendo en cuenta que es homogénea.

$$\begin{align}&\frac{dy}{dx}=f(x,y) \text{ con }f(x,y)=f(\lambda x, \lambda y)\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x}=1+\frac yx=1+\frac{\lambda y}{\lambda x}\\&\\&\text{estas se resuelven con el cambio}\\&\\&u=\frac yx\implies y=ux\\&\\&\text{lo aplicamos a la nuestra}\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}·x+u=1+u\\&\\&\frac{du}{dx}·x = 1\\&\\&du = \frac{dx}{x}\\&\\&u=ln\,x+lnC\\&\\&\frac yx=\,ln Cx\\&\\&y= x·ln\,Cx\\&\end{align}$$

Que es lo mismo que le salío a Lucas pero él no uso el truco de meter la constante dentro del logaritmo.

Y eso es todo, saludos.

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