Transformación lineal en r3 recorrido y dimensión

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¡Hola Misael!

Hasta ahora he resuelto estos ejercicios calculando las imágenes de la base y viendo la dimensión de ese conjunto.

También se puede resolver planteando la ecuación

x+2y-z=0

y+3z=0

-x-y+4z=0

Si la solución es única, el núcleo de la transformación es el vector nulo y la imagen es todo R3. Si la solución depende de n parámetros la el núcleo es un espacio de dimensión n y la imagen tiene dimensión 3-n

Luego consistiría en hacer ceros por debajo de la diagonal en la matriz de ese sistema y el número de filas que queden con algún coeficiente no nulo será la dimensión del espacio imagen.

1   2  -1

0   1   3

-1 -1  4

sumamos primera a tercera

1   2  -1

0   1   3

0   1   3

resto segunda a tercera

1  2  -1

0  1   3

0  0   0

Luego la dimensión es 2

Y el recorrido sera el generado por dos de las imágenes de la base canónica

S(1,0,0) = (1, 0, -1)

S(0,1,0) = (2, 1, -1)

Podemos restar el primero al segundo para que quede más sencillo

B={(1,0,-1) , (1,1,0)}

las combinaciones lineales posibles son

a(1,0,-1) + b(1,1,0) = (a, 0, -a) + (b, b, 0) = (a+b, b, -a)

Luego el espacio imagen es:

Im(S) = {(a+b, b, -a) | a, b de R}

Y ya está, espero que lo hayas entendido.

Saludos.

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¡Gracias! Yo lo había hecho así

x+2y-z=a

y+3z=b

-x-y+4z=c

al final me daba

1 2 -1 = a

0 1 3  = b

0 0 0 = a+c -b

luego crei que entonces debía despejar a 

a=b-c

b=a+c

c=-a+b

luego crei que podia sacar la base así:

(a,b,c) = (b-c, a+c, -a+b) 

a(0,1,-1) b(1,0,1) c(-1, 1, 0)

Entonces no se si mi procedimiento estuvo del todo mal o mi error fue suponer que el 000 = a+c-b debía despejarse.

También seria genial si me explicaras por favor de donde salen estos y como se calculan:

S(1,0,0) = (1, 0, -1)

S(0,1,0) = (2, 1, -1)

Muchas gracias por tu tiempo.

No consigues nada poniendo cada letra a, b, c en función de las otras dos, tienes que tomar una como paramétro y poner las otras en función de esas.

Cuando llegas a

1 2 -1 = a

0 1 3  = b

0 0 0 = a+c -b

Para que el sistema sea compatible debe ser

a+c-b=0

siempre que se cumpla eso habrá solución y la solución sera:

Tomando z como parámetro tendrías en la segunda

y + 3z = b

y = b-3z

y ahora en la primera

x + 2y - z = a

x + 2(b-3z) -z = 1

x +2b -6z - z = 1

x = 1 - 2b + 7z

Luego la solución a los elementos del origen cuya imagen es (a, b, c) cumpliendo a+c-b=0 es

x = 1 - 2b + 7z

y= b-3z

z = z

Que como puedes ver cada par tiene infinitas soluciones dependiendo del valor que le des a z.

Pero todo esto no te lo pedían, te pedían simplemente dimensión y recorrido, la dimensión es el rango de la matriz, que es el número de filas que quedan con algun coeficiente disinto de 0, son dos filas, luego es un espacio de dimensión 2. Y el recorrido lo puedes definir como los

(a, b, c) tales que a+c-b=0

entonces puedes poner c en función de a y b

c = b-a

lueog el recorrido es

Im(S) = {(a, b, b-a) | a,b de R}

Como ves te da distinto que a mi pero es lo mismo porque  si llamas

d=a-b

sería

Im(s) ={(d+b, b,-d) |d, b de R}

Y si a d lo llamas a ahora

Im(s) ={(a+b, b,-a) |a, b de R}

Que es la forma en que lo había definido yo.

Luego quédate con que no hay una forma única de definir un conjunto.

¡Gracias!, tienes razón ahora si ya me cuadra. saludos.