Calcular dimensión y recorrido de una transformación lineal
Sea la siguiente "transformación Lineal” que comprende el siguiente "Espacio Vectorial” V = {ax2 + bx + c │a = b, a, c є R}. Aplíquese el "Operador Derivada” (d/dx) sobre los elementos de V y Determinar el "Recorrido” y su "Dimensión Correspondiente”.
1 respuesta
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¡Hola Misael!
El operador derivada será
(d/dx)(ax^2+bx+c) = 2ax + b
Para calcular la dimensión del espacio imagen calculamos las imágenes de la base del espacio origen y vemos el rango de esas imágenes, es decir, la cantidad de imágenes que son linealmente independientes
(d/dx)(1) = 0
(d/dx)(x) = 1
(d/dx)(x^2) = 2x
Y de estos tres polinomios el 0 sobra en cualquier base, nos queda
B={1, 2x}
Son dos polinomios independientes ya que no son proporcionales, no existe k de R tal que
k·1 = 2x
Luego el espacio imagen tiene dimensión dos. Y está generado por los polinomios 1 y 2x, que lo mismo podemos tomar los polinomios
B={1, x}
Luego es es espacio
Im = {ax+b | para todo a, b de R}
Dicho de otro modo, los polinomios de grado 1 en R.
Y eso fue todo, saludos.
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