¿A qué distancia del Sol está el otro foco?
La Tierra se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol, y el Sol está sobre uno de los focos de esta elipse. Si la distancia mínima que separa al sol
De la Tierra es de 147.000.000 kilómetros, y su mayor separación es de 150.000.000 kilómetros aproximadamente. ¿A qué distancia del Sol está el otro foco?
2 Respuestas
;)
Hola marco!
La ecuación polar de una elipse, con el foco (Sol) en el origen de coordenadas es:
$$\begin{align}&r=\frac{a(1-e^2)}{1+e·\cos \theta}\end{align}$$
El punto más próximo al sol se llama perihelio y el más lejano afelio, que en coordenadas polares es:
$$\begin{align}&perihelio:\\&\theta=0 \Rightarrow r=\frac{a(1-e^2)}{1+e}=\frac{a(1+e)(1-e)}{1+e}=a(1-e)\\&cos0=1\\&afelio:\\&\theta= \pi \rightarrow r=\frac{a(1+e)(1-e)}{1-e}=a(1+e)\\&\cos \pi=-1\\&\\&147·10^6=a(1-e)\\&150·10^6=a(1+e)\\&\\&a= =\frac{147·10^6}{1-e}=\frac{150·10^6}{1+e}\\&\\&147+147e=150-150e\\&297e=3\\&\\&e=\frac{3}{297}=\frac{1}{99} \Rightarrow a=\frac{150·10^6}{1+\frac{1}{99}}=\frac{150·10^6}{\frac{100}{99}}=14850·10^4\\&\\&e=\frac{c}{a} \Rightarrow c=e·a=\frac{1}{99}·14850·10^4=150·10^4\\&\\&dist(F,F')=2c=300·10^4 \ km\end{align}$$saludos
;)
;)
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En coordenadas cartesianas, el origen de coordenadas sería el centro de la elipse:
perihelio=dist(Sol,B)=a-c
afelio=dist(Sol,A)=AB-BSol=2a-(a-c)=a+c
$$\begin{align}&150·10^6=c+a\\&147·10^6=a-c\\&\\&restándolas:\\&3·10^6=2c\\&\\&dist(F'F')=2c=3·10^6\end{align}$$Saludos
;)
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¡Hola Marco!
Tomamos el eje transversal de la elipse, el que tiene los focos.
La mínima distancia es cuando la tierra pasa por ese eje de la parte del foco del sol. Y la máxima distancia es cuando pasa por el eje del lado del foco opuesto. Por simetría, la distancia al foco más cercano es la misma en los dos puntos. Luego la distancia máxima es la mínima más la distancia entre focos. Por tanto
(Distancia entre focos) = (Distancia máxima) - (Distancia mínima) =
150 millones km - 147millones km = 3 millones de km
Salu_dos.
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