Unos ejercicios de calculo para una buena solución

¡Ho_la Jorge!

Mientras no deis la regla de l'Hôpital y creo que no la habréis dado todos estos límites necesitan usar uno que se da por sabido. Y se tiene que dar por sabido puesto que interviene en la demostración de la derivada del seno, sin él no se hubiera podido avanzar en el cálculo diferencial.

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0} \frac{sen\,x}{x}=1\\&\\&\text{y quien dice eso dice}\\&\\&\lim_{u(x)\to 0} \frac{sen\,u(x)}{u(x)}=1\\&\\&\text{y quien dice eso dice}\\&\\&Si\;\; \lim_{x\to a} u(x)=0\implies\lim_{x\to a} \frac{sen\; u(x)}{u(x)}=1\\&\\&\text{Lo que haremos será multiplicar numerador y}\\&\text{denominador por lo mismo, de modo que en el}\\&\text{denominador tengamos lo de dentro del seno.}\\&\text{Y los factores que sobren los mandamos fuera}\\&\\&10)\quad\lim_{\theta\to 0} \frac{sen\theta}{2\theta}=\\&\\&\text{en este no hay que multiplicar por nada,}\\&\text{simplemente sacar fuera el 2 del denominador}\\&\\&=\frac 12 \lim_{\theta\to 0} \frac{sen\theta}{\theta}= \frac 12·1 = \frac 12\\&\\&--------------------\\&\\&11)\quad \lim_{x\to 0} \frac{sen\,4x}{3x}=\\&\\&\text{Y este necesita un 4 en el denominador.}\\&\\&=\lim_{x\to 0} \frac{4·sen4x}{4·3x}=\\&\\&\text{sobra el 4 del numerador y el 3 del denominador}\\&\\&=\frac 43·\lim_{x\to 0} \frac{sen\,4x}{4x}=\frac 43·1=\frac 43\\&\\&---------------------\\&\\&12) \quad\lim_{\theta\to 0} \frac{sen\,3\theta}{5\theta}=\\&\\&\text{necesitamos un 3 en el denominador}\\&\\&=\lim_{\theta\to 0} \frac{3·sen\,3\theta}{3·5\theta}=\\&\\&\text{y sobran un 3 arriba y el 5 abajo}\\&\\&=\frac 35 ·\lim_{\theta\to 0} \frac{sen\,3\theta}{3\theta}=\frac 35·1=\frac 35\end{align}$$

Y eso es todo.

Salu_dos.