Determinar el gradiente y alguna dirección
Dada una funcion f, diferenciable en todo los puntos de R2 ; que cumple con: Duf (a) = 1 y Dvf (a) = raiz(2)
$$\begin{align}&Duf (a) = 1 \\&D vf (a) = \sqrt(2)\\&siendo u =(3/5,4/5)\\&v=(1/\sqrt(2),1/\sqrt(2))\\&\\&\\&\end{align}$$(a) Determinar el gradiente de f en a
(b) Determinar, si existe, alguna dirección w tal que Dwf (a) = 6
1 Respuesta
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¡Ho_la Brian!
Si es diferenciable tiene derivadas parciales y el gradiente es
$$\begin{align}&\nabla f=(f_x,f_y)\\&\\&\text{Y la derivada direccional de vector u es}\\&\\&f_u=\frac{\nabla f·u}{||u||}\\&\\&\text{nos dicen}\\&\\&\frac{f_x(a)·\frac 35+ f_y(a)·\frac 45}{\sqrt{\frac{9}{25}+\frac {16}{25}}}=\frac 35f_x(a)+\frac 45 f_y(a)=1\\&\\&\frac{f_x(a)·\frac 1 {\sqrt 2}+ f_y(a)·\frac 1{\sqrt 2}}{\sqrt{\frac 12+\frac 12}}=\frac 1{\sqrt 2}f_x(a)+\frac 1{\sqrt 2} f_y(a)=\sqrt 2\\&\\&\\&3f_x(a)+4f_y(a)=5\\&f_x(a)+f_y(a)=1\\&\\&\text{resolviendo}\\&f_y(a)=2\\&f_x(a)=-1\\&\\&\nabla f(a)=(-1,2)\end{align}$$b) No no es posible, el gradiente indica la dirección donde la derivada direccional es máxima y el valor de esa derivada máxima es el módulo del gradiente, luego en este caso la derivada máxima es
raíz(1^2 + 2^2) = raíz(5) < 6
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$$\begin{align}&D_uf(x,y)=Vf(x,y)\end{align}$$Hola muchas gracias por la explicacion y por tomarte tu tiempo en responder mi pregunta,me sirvio muy bien para entender el ejercicio y note que hay un error al querer verificar si el gradiente estaba bien note que no me daba la igualdad de la derivada direccional con el vector gradiente con la direccion dada.Y el detalle donde calculas F(u) creo que no te dieste cuenta y tomaste el vector direcctor al reves .De todas formas pude resolverlo y el vector gradiente me quedo (-1,3)
Ah no, ya veo donde estuvo el fallo, fe al simpolificar la segunda ecuación, debía haber quedado
f_x(a) + f_y(a) = 2
que con
3f_x(a) + 4f_y(a) = 5
hacen
f_y(a) = -1
f_x(a) = 3
grad f(a) = (3, -1)
Yo creo que esa es la verdadera respuesta.
