Establezca identidad: 1) Sec4 b - sec2 b = tan4 b + tan2 b

Veamos...

$$\begin{align}&1) sec^4b-sec^2b = tan^4b+tan^2b\\&\text{Veamos el lado izquierdo de la igualdad}\\&sec^4b-sec^2b = \frac{1}{\cos^4b}-\frac{1}{\cos^2b}= \frac{1-\cos^2b}{\cos^4b} =\\&\frac{sen^2b}{\cos^4b} = \frac{tan^2b}{\cos^2b}\\&\text{Veamos el lado derecho de la igualdad}\\&tan^4b+tan^2b = \frac{sen^4b}{\cos^4b}+\frac{sen^2b}{\cos^2b}=\frac{sen^4b+sen^2b\cdot \cos^2b}{\cos^4b}=\\&\frac{sen^2b (sen^2b+\cos^2b)}{\cos^4b}=\frac{sen^2b \cdot 1}{\cos^4b}=\frac{tan^2b}{\cos^2b} \ (VALE!)\\&---\\&2) sec a - tan a = \frac{\cos a}{1+sen a}\\&Lado \ Izquierdo\\&sec a - tan a=\frac{1}{\cos a} - \frac{sen a}{\cos a} = \frac{1-sen a}{\cos a} = \frac{1}{\cos a} (1 - sen a)\\&\text{Pero no se parece en nada al lado derecho}\end{align}$$

Como ves, el primero me da bien, pero en el segundo no pude encontrar la igualdad (o hay un error en la misma)

;)
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Saludos

;)

;)

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¡Hola Estela!

$$\begin{align}&1)\\&sec^4b-sec^2b=tan^4b+tan^2b\\&\\&sec^2b(sec^2b-1)=tan^2b(tan^2b+1)\\&\\&sec^2b\left(\frac 1{\cos^2b}-1  \right)= tan^2b\left(\frac{sen^2b}{\cos^2b}+1  \right)\\&\\&sec^2b\left(\frac {1-\cos^2b}{\cos^2b}  \right)= tan^2b\left(\frac{sen^2b+\cos^2b}{\cos^2b}  \right)\\&\\&sec^2b\left(\frac {sen^2}{\cos^2b}  \right)= tan^2b\left(\frac {1}{\cos^2b}  \right)\\&\\&\frac{1}{\cos^2b}·\frac {sen^2}{\cos^2b}=\frac{sen^2b}{\cos^2b}·\frac{1}{\cos^2b}\\&\\&\frac{sen^2b}{\cos^4b}=\frac{sen^2b}{\cos^4b}\\&\\&----------------\\&\\&2)  \\&sec a-tan\,a= \frac{\cos a}{1+sena}\\&\\&\frac{1}{\cos a}-\frac{sena}{cosa}=\frac{cosa}{1+sen a}\\&\\&\frac{1-sena}{\cos a}=\frac{cosa}{1+sen a}\\&\\&\text{hacemos el producto cruzado}\\&\\&(1-sena)(1+sena)=\cos^2a\\&\\&1-sen^2a=\cos^2a\\&\\&\cos^2a=\cos^2a\end{align}$$

Salu_dos.

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