¿Cuáles son los falsos y verdaderos con justificación de los falsos?
- |u+v|^2 = |u|^2 + 2*u*v + |v|^2
- |u-u|^2 = |u|^2 - 2*u*v + |v|^2
- (u+v)(u-v) = |u|^2 - |v|^2
- u*u = u^2
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Ho_la Gustavo!
Yo usaré el punto (·) en lugar del asterisco para el producto escalar.
1) El primero es verdadero.
$$\begin{align}&|u+v|^2=(u+v)·(u+v)=\\&\\&(u+v)·u+(u+v)·v=\\&\\&u·u +v·u+u·v+v·v=\\&\\&|u|^2+2(u·v)+|v|^2\\&\\&\text{El segundo es falso tal como lo has escrito, pero}\\&\text{a lo mejor has tenido una errata y querías decir:}\\&|u-v|^2=|u|^2-2u·v+|v|^2\\&\text{entonces sería verdadero}\\&\\&|u-v|^2=(u-v)·(u-v)=\\&\\&(u-v)·u+(u-v)·(-v)=\\&\\&u·u+(-v)·u +u·(-v)+(-v)·(-v)=\\&\\&u·u -v·u-u·v+v·v=\\&\\&|u|^2+2u·v+|v|^2\\&\\&\\&\text{El tercero es verdadero siempre que te }\\&\text{refieras a producto escalar}\\&(u+v)·(u-v)=(u+v)·u+(u+v)(-v)=\\&\\&u·u+v·u+u·(-v)+v·(-v)=\\&\\&u·u +v·u-u·v -v·v=\\&\\&\text{ya lo he usado antes \sin advertirlo que }u·v=v·u\\&\\&u·u-v·v=|u|^2-|v|^2\\&\\&\\&\text{El cuarto tiene un defecto en la notación, lo correcto es:}\\&\\&u·u=|u|^2\\&\\&\text{luego tu verás si eso es fallo o no, para mi lo es}\\&\end{align}$$Salu_dos.
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