Como resolver ecuaciones diferenciales exactas
Determinar si la ecuación dada es exacta. Si lo es resuélvala.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
·
·
¡Hola Herney!
Es muy buena noticia que nos digan que es exacta, pero vamos a comprobarlo
$$\begin{align}&(1-ln\,x)dy =\left (1+ln\,x+\frac yx\right)dx\\&\\&\text{La ponemos en la forma }Mdx+Ndy=0\\&\\&\left (1+ln\,x+\frac yx\right)dx+(ln\,x-1)dy = 0\\&\\&\text{Veamos si }\\&M_y=N_x\\&\\&M_y=\frac 1x\\&\\&N_x=\frac 1x\\&\\&\text{es exacta, entonces la solución es}\\&\\&u(x,y)=C\\&donde\\&u_x=M\\&u_y=N\\&\text{y podemos elegir para calcularlo entre}\int Mdx \quad ó\;\; \int Ndy\\&\text{en este caso es más sencillo }\int Ndy\\&u(x,y)=\int (lnx-1)dy=y(lnx-1)+\varphi(x)\\&\\&\text{eso es lo fundamental, la constante de integración puede ser}\\&\text {cualquier función de x}\\&\\&\text{al derivar este u respecto de x debe darnos M}\\&\\&u_x(x,y)=y·\frac 1x+\varphi'(x)=1+lnx +\frac yx\\&\\&\text{despejando }\varphi'(x)\\&\\&\varphi'(x)=1+lnx\\&\\&\varphi(x)=\int(1+lnx)dx=\\&\text{Se integra por partes, la u de ahora no tiene nada que ver con la otra}\\&u=1+lnx\quad du=\frac{dx}{x}\\&dv = dx\qquad\;\; v=x\\&\\&=x(1+lnx)-\int dx =x(1+lnx)-x = x\,lnx\\&\\&\text{resumiendo}\\&\varphi(x)=x\,lnx\\&\\&\text{lo llevamos a u(x,y)=C}\\&\\&y(lnx-1)+xlnx=C\\&\\&y=\frac{C-x\,lnx}{lnx-1}\end{align}$$:
:
