Determina si el sistema de funciones son linealmente independientes o dependientes en su dominio de definición
$$\begin{align}&x\end{align}$$$$\begin{align}&e^(2x)\end{align}$$$$\begin{align}&xe^(2x)\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Omar!
Tomemos una combinación lineal de las tres funciones igualada a la función nula y veamos si puede conseguirse con coeficientes no todos 0 o deben ser 0 todos. Si la única solución posible es con todos 0 son linealmente independientes, y si no dependientes.
ax + be^(2x) + cxe^(2x)=0
Para obtener ecuaciones demos valores distintos a x
Para x=0
b=0
para x=1
a + ce^2 = 0
Para x=2
2a + 2ce^4=0
a +ce^4=0
restándole la anterior
c(e^4-e^2)=0
como e^4-e^2 distinto de 0
c=0
y ahora
a+0 =0
a=0
Luego se deduce
a=b=c=0
Y por definición de independencia lineal significa que las funciones son linealmente independientes.
Y eso es todo, salu_dos.
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