Como resolver ecuación diferencial factor integrante
Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Ho_la German!
Veamos cuales son las derivadas parciales
My = 6x
Nx= 18x
Tenemos que
(Nx-My) / M = (18x-6x) / (6xy) = 12x/(6xy) = 2/y
Es una función que solo depende de y.
En este supuesto se puede tomar como factor integrante este
$$\begin{align}&\mu(y)=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M}dy}=e^{\int \frac 2ydy}=e ^{2lny}=e^{ln y^2}= y^2\\&\\&\text{multiplicamos por él la ecuación diferencial}\\&\\&6xy^3\;dx + (4y^3+9x^2y^2)dy=0\\&\\&\text{comprobamos que ahora es exacta}\\&M_y=18xy^2\\&N_x=18xy^2\\&\\&\text{luego la solución es de la forma}\\&u(x,y)=C\\&con\\&u_x(x,y)=M\\&u_y(x,y)=N\\&\\&\text{Integramos la mas secilla de Mdx o Ndy, y lo}\\&\text{principal es poner la constante de integración}\\&\text{como toda una función de la otra variable.}\\&\\&u(x,y)=\int 6xy^3dx=3x^2y^3+\varphi(y)\\&\\&\text{como }u_y(x,y)=N\\&\\&9x^2y^2+\varphi'(y)= 4y^3+9x^2y^2\\&\\&\varphi'(y) =4y^3\\&\\&\varphi(y)=\int4y^3dy=y^4\\&\\&\text{Y sustituyendo esto en }u(x,y)\text{ queda}\\&\\&u(x,y)=3x^2y^3+y^4\\&\\&\text{La solución es:}\\&\\&3x^2y^3+y^4= C\end{align}$$Y eso es todo, salu_dos.
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