Como resolver ejercicio valor inicial
Ayuda con el siguiente ejercicio de ecuaciones diferenciales con valor inicial.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola German!
Esa ecuación canta a la legua que es una ecuación diferencial homogénea. Eso se nota cuando todos los términos, la suma de losexponentes de x y y es constante, en este caso la suma es 2
Yo lo primero que haré será dividir todo por x^2 y así verá que la ecuación diferencial depende toda de la variable u=y/x
$$\begin{align}&(x^2+2y^2) \frac{dy}{dx}-xy=0\\&\\&\text{dividimos por }x^2\\&\\&\left(1+2\left(\frac yx\right)^2 \right)\frac{dy}{dx}-\frac yx=0\\&\\&\frac{dy}{dx}=\frac{\frac yx}{1+2\left(\frac yx\right)^2}\\&\\&\text{hacemos el cambio }u=\frac yx\implies y=ux\implies\\&\\&\frac{du}{dx}x+u=\frac{u}{1+2u^2}\\&\\&\frac{du}{dx}x=\frac{u}{1+2u^2}-u = \frac{u-u-2u^3}{1+2u^2}=-\frac{2u^3}{1+2u^2}\\&\\&\frac{1+2u^2}{2u^3}du=-\frac {dx}x\\&\\&\text{qe tiene las variables separadas}\\&\\&\int \frac{1+2u^2}{2u^3}du=-ln\, x+ln\,C\\&\\&\int\left(\frac 12u^{-3} +\frac 1u \right)du=ln\;\frac Cx\\&\\&\frac 12·\frac{u^{-2}}{-2}+ln\; u=ln\,\frac Cx\\&\\&-\frac 1{4u^2}+ln\,u=ln\,\frac Cx\\&\\&ln\,u-ln\,\frac Cx=\frac 1{4u^2}\\&\\&ln\,\frac{u}{\frac Cx}=\frac 1{4u^2}\\&\\&ln \frac{ux}{C}=\frac 1{4u^2}\\&\\&\text{Reutilizamos C como constante en el numerador}\\&\\&ln (Cux)=\frac 1{4u^2}\\&\\&ln\left(C·\frac yx·x\right)=\frac{1}{4 \frac{y^2}{x^2}}\\&\\&ln(Cy) =\frac {x^2}{4y^2}\\&\\&\text{Puede dejarse de otras formas, yo preferiría esta}\\&\\&4y^2·ln\,y-x^2=C\\&\\&\text{Y ahora hagamos que cumpla }y(-1)=1\\&\\&4·1^2·ln\,1-(-1)^2=C\\&4·0-1=C\\&C=-1\\&\\&\text{Y la solución es:}\\&4y^2·ln\,y-x^2=-1\end{align}$$:
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Saludos profesor Valero
En la ecuación original esta dx sobre dy.
Atento a sus comentarios
¡Y a quién se le ocurre ponerlo al revés! No me di cuenta.
Si no te importa puntúa esta pregunta como si estuviera bien y mándala de nuevo para responderla bien. ¡Que el trabajo que he hecho no me lo quita nadie!
