Suma de una progresión geométrica con r=1
No entiendo como se llega a que la suma de una razón geométrica cuya razón es 1 es igual a n por el primer término de la sucesión partiendo de la fórmula general de la suma de una progresión geométrica cuya razón es distinta a 1.
3 Respuestas
$$\begin{align}& \end{align}$$La fórmula de la razón geométrica es:
$$\begin{align}&\sum_{k=0}^{n-1} a r^k=a \frac{1-r^n}{1-r}\\&\text{Pero en ese resultado, se ve claramente que r debe ser distinto a 1, pero veamos que pasa}\\&\text{con el término de la izquierda cuando r=1}\\&\sum_{k=0}^{n-1} a r^k=a\sum_{k=0}^{n-1} r^k=a \sum_{k=0}^{n-1} 1^k=\\&a \sum_{k=0}^{n-1} 1\\&\text{Y ahí ya estamos porque la suma de 0 a n-1 del número 1, es n; por lo tanto tenemos:}\\&a \sum_{k=0}^{n-1} 1 = a\cdot n\end{align}$$
Supongo que eres nueva en la página...
Si quieres continuar recibiendo respuestas, te recomiendo que cambies la calificación a Excelente (para todos los expertos que te hemos respondido de manera correcta).
·
·
¡Hola tatifdezbtez!
La fórmula es:
$$\begin{align}&S_n= a_1· \frac{r^n-1}{r-1}\\&\\&\text{Pero es que }\\&\\&\frac{r^n-1}{r-1}=1+r+r^2+...+r^{n-1}\\&\\&\text{De ahi tienes que para r=1 sea}\\&\\&S_n=a_1(1+1+1+ n veces) = na_1\\&\\&\text{La demostración de que}\\&\\&\frac{r^n-1}{r-1}=1+r+r^2+...+r^{n-1}\\&\\&\text{Se hace por inducción}\\&\\&\text{Para n=1 se cumple}\\&\\&\frac{r-1}{r-1}=1\\&\\&\text{Si se cumple para n}\\&\\&\frac{r^{n+1}-1}{r-1}=\frac{r^{n+1}-r+r-1}{r-1}=\\&\\&r·\frac{r^n-1}{r-1}+1 =r(1+r+...+r^{n-1})+1=\\&\\&1+r+r^2+....+r^n\text{también se cumple para n+1}\\&\\&\text{Para todo r distinto sirve cualquiera de las dos fórmulas}\\&\text{Pero para r=1 hay que tomar el límite.}\\&\\&S_n=\lim_{r\to1} a_1 \frac{r^n-1}{r-1}= a_1·\lim_{r\to 1}\sum_{i=0}^{n-1}r^i = n·a_1\end{align}$$Y eso es todo, salu_dos.
:
:
El problema que yo veo es que si en la fórmula general de la suma sustituyo r por 1, no llego a la misma conclusión. Tendría que poder solucionarlo de un modo sencillo, ¿no?
Te digo lo mismo que Gustavo, parece mentira que después de esta demostración no pongas excelente. Así no se te contestarán más preguntas ni atenderemos tus dudas.
Lamento que te pongas así. No puse excelente porque mi duda sigue sin resolverse. Si sustituyo la r por 1, no llego a la fórmula n. a1. Ambas demostraciones están perfectas pero mi problema sigue ahí.
De todos modos os cambiaré a excelente. Pensé que eso se hacía cuando la pregunta estaba concluida.
Tu quieres calcular la suma de los n términos de la progrsión geométrica para r=1 a partir de la fórmula que es:
$$\begin{align}&S_n= a_1· \frac{r^n-1}{r-1}\end{align}$$No puedes usar esa fórmula porque para r=1 se hacen cero el numerador y el denominador y esa es una operación que no está denifida, no se puede dividir por 0.
Entonces lo que vas a hacer es ver lo que pasa con la suma para valores de r que están infinitamente cerca de 1. Eso es el límite de la función cuando r tiende a 1.
$$\begin{align}&\lim_{r\to 1} S_n=\lim_{r\to 1} a_1·\frac{r^n-1}{r-1}=\\&\\&\text{te he demostrado que para }r\neq 1\text{ se cumple}\\&\\&\frac{r^n-1}{r-1}=1+r+r^2+...+r^{n-1}=\\&\\&\text{luego sustituyendo}\\&\\&\lim_{r\to 1} Sn=\lim_{r\to 1}a_1 (1+r+r^2+...+r^{n-1})=\\&\\&a_1(1+1+1+.....+1) = n·a_1\end{align}$$Y esa es la justificación, pero para que no tengas dudas debes tener en cuenta que la fórmula de la suma tiene dos casos y no solo uno.
$$\begin{align}&S_n=a_1·\frac{r^n-1}{r-1} \quad si\; r\neq 1;\quad n·a_1\quad si\; r=1\end{align}$$Para r=1 es indemostrable la fórmula general, esa fórmula general exige que r sea distinto de 1 para ser válida, para r=1 la suma es simplemente esto:
Sn = a1+a1+a1+...+a1 (n veces) = n·a1
Saludos.
:
:
