Espacios vectoriales, Demostrar que Sgenera a R2

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¡Hola Fabián!

Bastaría con demostrar que son dos vectores independientes, ya que entonces generarían un espacio de dimensión 2 que sería todo R2.

Y las formas de demostrar que son independientes son variadas, por el determinante

|1   1|

|-1  1| = 1·1 - 1·(-1) = 1 +1 = 2

Lo que pasa es que no sé si habéis dado ya los determinantes.

Por el rango, intentando hacer filas con todo ceros

1 1

-1 1

Sumamos la primera a la segunda

1 1

0 2

Y ya es imposible hacer más ceros en la segunda fila sin quitar el que tiene.

Por definición:

Sean a y b tales que

a(1,1) + b(-1,1) =(0,0)

(a,a) + (-b,b) = (0,0)

(a-b, a+b) = (0, 0)

a-b= 0

a+b=0

las sumamos

2a=0 ==> a=0

b=-a = 0

luego a=0  y  b=0

y eso quiere decir que son independientes.

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Y si no habeis dado nada de lo anterior se demuestra por definición. Será un sistema generador de R2 si para cualquier punto (c, d) de R2 existen escaleres a y b de R tales que

a(1,1)+b(1,-1) = (c,d)

(a,a)+(b,-b) = (c,d)

(a+b, a-b) = (c,d)

a+b = c

a-b = d

Las sumamos

2a = c+d

a= (c+d)/2

b=-a+c = -(c+d)/2 + c = (-c-d+2c)/2 = (c-d)/2

Luego existen esos valores a y b que hacen que la combinación lineal de u1 y u2 sea (c, d), por lo tanto son un sistema generador.

Y eso es todo, saludos.

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