Demostraciones de propiedades de espacios vectoriales
1. La suma es asociativa:
$$\begin{align}&((a_1, a_2,…, a_n) + (b_1, b_2,… b_n)) + (c_1, c_2,…, c_n) = (a_1, a_2,…, a_n) + ((b_1, b_2,… b_n) + (c_1, c_2,…, c_n))\end{align}$$2. La suma es conmutativa:
$$\begin{align}&(a_1, a_2,…, a_n) + (b_1, b_2,… b_n) = (b_1, b_2,…, b_n) + (a_1, a_2,…, a_n)\end{align}$$3. El arreglo (0, 0,…,0) es el arreglo idéntico de la suma:
$$\begin{align}&(a_1, a_2,…, a_n) + (0, 0,…,0) = (a_1, a_2,…, a_n)\end{align}$$Las propiedades del producto escalar se derivan de las propiedades de la multiplicación de números reales.
4. La multiplicación escalar es distributiva:
$$\begin{align}&r((a_1, a_2,…, a_n) + (b_1, b_2,… b_n)) = r(a_1, a_2,…, a_n) + r(b_1, b_2,… b_n) (r + s)(a_1, a_2,… a_n) = r(a_1, a_2,…, a_n) + s(a_1, a_2,…, a_n)\end{align}$$5. La multiplicación es asociativa:
$$\begin{align}&(rs)(a_1, a_2,…, a_n) = r (s (a_1, a_2,… a_n))\end{align}$$6. La multiplicación tiene un idéntico multiplicativo:
$$\begin{align}&1(a_1, a_2,…, a_n) = (a_1, a_2,…, a_n)\end{align}$$Como ejemplo de demostración usan este:
Desmostrar que cada arreglo
$$\begin{align}&(a_1, a_2,…, a_n)\end{align}$$en Rn tiene un inverso aditivo
Cada arreglo y
$$\begin{align}&(a_1, a_2,…, a_n)\end{align}$$en
$$\begin{align}&R^n\end{align}$$tiene un inverso aditivo que se obtiene tomando el inverso aditivo de cada componente
$$\begin{align}&a_i:(-a_1, -a_2,…, -a_n)\end{align}$$, con la propiedad de que sumado a
$$\begin{align}&(a_1, a_2,…, a_n)\end{align}$$nos da el arreglo idéntico:
$$\begin{align}&(a_1, a_2,…, a_n) + (-a_1, -a_2,…, -a_n) = (0, 0,…,0)\end{align}$$La demostración es consecuencia directa de las propiedades de los números reales:
$$\begin{align}&(a_1, a_2,…, a_n) + (-a_1, -a_2,…, -a_n) = (a_1 + (-a_1), a_2 + (-a_2),…, a_n + (-a_n))\end{align}$$por definición de suma de vectores = (0, 0,…,0), puesto que para todo número real
$$\begin{align}&a_i + (-a_i) = 0\end{align}$$para
$$\begin{align}&i = 1, 2,…, n\end{align}$$
1 Respuesta
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¡Hola Fred Ro!
Esto es todo muy sencillo pero lleva mucho trabajo:
Asociativa:
$$\begin{align}&[(a_1,...,a_n)+(b_1,...,b_n)]+(c_1,...,c_n)=\\&\\&(a_1+b_1, ..., a_n+b_n)+(c_1,...,c_n)=\\&\\&((a_1+b_1)+c_1, ..., (a_n+b_n)+c_n)=\\&\\&\text{Como en R se cumple }(a+b)+c = a+(b+c)\\&\text{podemos hacerlo dentro de cada componente}\\&\\&=(a_1+(b_1+c_1), ..., a_n+(b_n+c_n))=\\&\\&(a_1,...,a_n)+ (b_1+c_1,...,b_n+c_n)=\\&\\&(a_1,...,a_n)+[(b_1,...,b_n)+(c_1,...,c_n)]\\&\\&\text{2. La suma es conmutativa}\\&(a_1,...,a_n)+(b_1,...,b_n)=\\&(a_1+b_1, ..., a_n+b_n)=\\&\text{como en R se cumple a+b=b+a , lo hacemos}\\&\text{en cada componente}\\&(b_1+a_1,...,b_n+a_n)=\\&(b_1,...,b_n)+(a_1,...a_n)\\&\\&\text{3. Lo del arreglo idéntico}\\&\\&(a_1,...,a_n)+(0,...,0) =\\&(a_1+0, ...,a_n+0)=\\&\text{como en R a+0=0}\\&(a_1,...,a_n)\\&\\&\text{4. Distributiva del producto por escalares}\\&\\&r((a_1,...a_n)+(b_1,...,b_n))=\\&r(a_1+b_1,...,a_n+b_n)=\\&(r(a_1+b_1),...,r(a_n+b_n))=\\&\text{como en R r(a+b)=ra+rb lo hacemos}\\&\text{en cada componente}\\&=(ra_1+rb_1,...,ra_n+rb_n)=\\&(ra_1, ...,ra_n)+(rb_1,...,rb_n)=\\&r(a_1,...,a_n)+r(b_1,...,b_n)\\&\\&\end{align}$$Y el ordenador ya se atasca y no puede con más fórmulas. Continúalo tú o manda otra pregunta para lo que falta.
S a l u d o s.
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