Apoyo para decir si es estrictamente creciente la siguiente función.
Necesito apoyo para poder demostrar que la siguiente función es
a) Estrictamente creciente
b) Cóncava
$$\begin{align}&v(x)=a-a*e^{-bx},\ \ \ \ donde\ \ \ \ a\ y\ b\ \ \ \ \text{son constantes positivas}\end{align}$$
2 respuestas
;)
Hola atom valenz!
Derivemos:
$$\begin{align}&v'(x)=-ae^{-bx}(-b)=abe^{-bx}\\&ab>0\\&e^{-bx}=\frac{1}{e^{bx}}>0\\&\\&\Longrightarrow v'(x)>0 \rightarrow \ estrictamente \ creciente\\&\\&v''(x)=abe^{-bx}(-b)=-ab^2 e^{-bx}\\&\\&-ab^2<0\\&e^{-bx}=\frac{1}{e^{bx}}>0\\&\\&\Longrightarrow\\&v''(x)<0 \Rightarrow cóncava\end{align}$$saludos
;)
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¡Hola Atom!
Toda función derivable en un intervalo será estrictamente creciente en él si la derivada es siempre estrictamente positiva. La dunción v(x) que nos dan es derivable en todo R, luego veremos si es estrictamente creciente en todo R. Ojo, la proposición inversa no es cierta, una función derivable puede valer 0 en algún punto pero ser esctrictamente creciente.
$$\begin{align}&v(x)= a-ae^{-bx}\\&\\&v'(x)=abe^{-bx}\\&\\&a\gt 0\\&b\gt 0\\&\text{Toda exponecial de base positiva es siempre positiva,}\\&\text{no te engañe el exponente, el exponente no cuenta}\\&e^{-bx}\gt 0\\&\\&\text{Luego}\\&v'(x)>0\implies v(x) \text{ estrictamente creciente}\\&\\&------------------------\\&\\&\text{La concavidad la da la derivada segunda}\\&\\&v''(x)= -ab^2e^{-bx}\\&\\&\text{que es siempre negativa por lo mismo que vimos antes}\end{align}$$Y yo no te voy a decir si es concava o convexa porque eso depende del país y del autor del libro, igual que unos sitios se conduce por la derecha y en otros por la izquierda. Cuando estudiaba en el colegio esa función hubiera sido convexa y luego en la universidad sería concava porque el profesor había estudiado en Princeton. Hay otra forma de designarla que a mí me gusta más que es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo, esta es cóncava hacia abajo.
Y eso es todo, saludos.
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