¿Cómo hallar el área de la superficie lateral del sólido resultante?

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¡Hola Milena!

Tenemos que aplicar la fórmula de la superficie de revolución de una curva alrededor del eje X. Hay que decir que es una integral muy difícil, solo en contados casos se puede resolver, espero que este sea uno de ellos.

$$\begin{align}&A=2\pi\int_{x_1}^{x_2}f(x) \sqrt{1+[f'(x)]^2}\;dx\\&\\&A=2\pi\int _0^{\frac 12}x^3 \sqrt{1+(3x^2)^2}\;dx=\\&\\&2\pi\int_0^{\frac 12}x^3 \sqrt{1+9x^4}\;dx=\\&\\&t=1+9x^4\\&dt=36x^3dx\implies x^3dx= \frac{1}{36}dt\\&x=0\implies t=1\\&x=\frac 12\implies  t=1+9·\frac 1{16}=\frac {25}{16}\\&\\&=2\pi·\frac 1{36}\int_1^{25/16}t^{\frac 12}dt=\frac{\pi}{18}·\frac 23t^{\frac 32}\bigg|_1^{25/16}=\\&\\&\frac{\pi}{27}·\left(\sqrt{\frac{25^3}{16^3}}-1  \right)=\frac{\pi}{27}\left(\frac{5^3}{4^3}-1  \right)=\\&\\&\frac{\pi}{27}·\frac{125-64}{64}=\frac{61\pi}{1728}\end{align}$$

Y eso es todo.  S a l u d o s.

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Hola Milena!
Esa área se calcula con la fórmula:

$$\begin{align}&A=\int_a^b 2 \pi f(x) \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx= 2 \pi \int_0^{\frac{1}{2}}x^3 \sqrt{1+(3x^2)^2} dx=\\&\\&2 \pi \int_0^\frac{1}{2}x^3 \ \ \sqrt{1+9x^4} \ dx==\\&\\&sustitución:\\&1+9x^4=t\\&36x^3dx=dt \Rightarrow x^3dx= \frac{dt}{36}\\&x=0 \Rightarrow t=1\\&x=\frac{1}{2} \Rightarrow t=1+\frac{9}{2^4}=\frac{25}{16}\\&\\&==2 \pi \int_1^\frac{25}{16} t^\frac{1}{2} \frac{dt}{36}= \frac{2 \pi}{36} \Bigg[\frac{2}{3}t^\frac{3}{2} \Bigg]_1^\frac{25}{16}=\\&\\&\frac{4 \pi}{36·3} \Bigg[\Big(\frac{25}{16}\Big)^\frac{3}{2}-1 \Bigg]=\frac {\pi}{27} \Bigg[\frac{125}{64}-1\Bigg]=\frac{\pi}{27}·\frac{61}{64}=\frac{61 \pi}{1728} \ \ u^2\end{align}$$

saludos

;)

;)