Solucion a ecuacion diferencial homogenea de orden 2
¿Cómo se resuelve y que metodo se utiliza?
$$\begin{align}&2y'' - 3y' - 5y = 0\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Yuleni!
Calculamos las raíces de la ecuación característica y dependiendo cómo sean así serán las soluciones.
$$\begin{align}&2k^2-3k-5=0\\&\\&k=\frac{3\pm \sqrt{9+40}}{4}=\frac{3\pm 7}{4}\\&\\&k_1=-1\\&k_2=\frac 52\\&\\&\text{Si son dos raíces reales distintas la solución es}\\&y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}\\&\\&\text{luego es}\\&\\&y=C_1e^{-x}+C_2e^{\frac 52x}\end{align}$$Y es es todo, saludos.
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Respuesta
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Primero planteamos la ecuación auxiliar equivalente, en este caso
$$\begin{align}&2m^2-3m-5=0\\&\text{Buscamos las raíces de este polinomio en m}\\&m_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 2\cdot (-5)}}{2\cdot 2}=\frac{3 \pm \sqrt{49}}{4}\\&m_1 = 2.5\\&m_2 = -1\\&\text{Como las soluciones son reales, y distintas, la solución general será:}\\&y = C_1 e^{2.5x}+C_2 e^{-x}\end{align}$$Al no tener valores iniciales, no podemos decir nada respecto a C_1 y C_2