¿Cómo hallar el centroide de la región limitada ?

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¡Hola Milena!

Debes concentrar en cada punto x la masa de la línea vertical para calcular la coordenada x del centro de masas. Y en cada punto y la masa de la horizontal para calcular la coordenada y del centro de masas, las fórmulas son.

$$\begin{align}&x_c=\frac{\int_{x_1}^{x_2} x[f(x)-g(x)]\;dx}{\int_{x_1}^{x_2}[f(x)-g(x)]dx}\\&\\&\text{donde f(x) es la función superior y g(x) la inferior}\\&\\&y_c=\frac{\int_{y_1}^{y_2} [y·h(y)-i(x)]\;dy}{\int_{x_1}^{x_2}[f(x)-g(x)]dx}\\&\\&\text{con h(y) a la derecha de i(y) y las funciones deben}\\&\text{tomar valor x, la variable independiente es la y}\\&\\&\text{He puesto el mismo denominador en ambas que es la}\\&\text{masa, también podrías calcularlo a traves de h(y), i(y)}\\&\\&m=\int_0^{2}(x^2-0)dx=\int_0^2x^2\,dx=\frac {x^3}{3}\bigg|_0^2=\frac 83\\&\\&x_c=\frac{1}{\frac 83} \int x(x^2-0)dx=\frac 38\int_0^2x^3\,dx=\frac 38·\frac{x^4}{4}\bigg|_0^2=\frac 38·4=\frac 32\\&\\&Si \\&\\&y=x^2\\&x=\sqrt y\\&\\&y_c=\frac 38\int_0^4y(2- \sqrt y)dy=\frac 38\int_0^4\left(2y-y^{\frac 32}\right)=\\&\\&\frac 38\left[y^2-\frac{y^{\frac 52}}{\frac 52}  \right]_0^4=\frac 38\left(16-\frac 25·\sqrt{4^5}  \right)=\\&\\&\frac 38\left(16-\frac 25·2^5  \right)=\frac 38\left(16-\frac {64}5  \right)=\frac 38·\frac {16}5=\frac 65\\&\\&\text{Luego el centro de masas es:}\\&\\&\left(\frac 32,\frac 65\right)\\&\\&\end{align}$$

Y así lo hacía yo y estaba bien, hasta que hace cuatro días descubrí una fórmula que facilita enormemente el cálculo de la coordenada y del centro de masas

$$\begin{align}&y_c=\frac{\frac 12\int_{x_1}^{x_2}\bigg([f(x)]^2-[g(x)]^2\bigg)dx}{\int_{x_1}^{x_2}[f(x)-g(x)]dx}\\&\\&\text{con lo cual y en este caso}\\&\\&y_c= \frac 38·\frac 12\int_0^2(x^4-0)dx=\frac 43·\frac{x^5}{5}\bigg|_0^2=\\&\\&\frac 3{16}·\frac {32}5=\frac 65\\&\end{align}$$

Y así está chupado, luego te recomiendo el segundo método para calcular la coordenada y del centro de masas.

Y eso es todo, saludos.

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Hola Milena Fernández!

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